(4,0 điểm)

Mặt xung quanh của một thùng chứa nước hình trụ có chiều cao \(1m\) được gõ từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước \[1m\] x\[2m\] (như hình vẽ).

 

 

 

 

 

a)     Hỏi thùng nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước?

           (Bỏ qua bề dày của thùng nước và lấy \[\pi  = 3,14\] làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

b)     Một em bé đánh rơi quả bóng bưởi xuống thùng tôn. Bên cạnh có một vòi nước cung cấp nước. Em bé cần lấy ít nhất bao nhiêu nước từ vòi để lấy được bóng bưởi một cách an toàn?  

a)     Gọi \(J\)  là trung điểm của \(ID\)

+) \(AB \bot CD\) tại \(O\), mà \(I \in OB\)

Suy ra \[\widehat {IOD} = {90^0}\]\[ \Rightarrow \Delta IOD\]vuông tại \(O\),

từ đó suy ra \[JO = JI = JD\](1)

+) Chứng minh: \[\widehat {IED} = {90^0}\]\[ \Rightarrow \Delta IED\]vuông tại \(E\),

từ đó suy ra JI = JE = JD (2)

+) Từ (1) và (2) suy ra O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn

b) +) Chứng minh: \[\Delta AHO\# \Delta ABE\] (g.g)

+) Suy ra: \[AH \cdot AE = AO \cdot AB = R \cdot 2R = 2{R^2}\]

+) Suy ra: \[\frac{{OA}}{{OH}} = \frac{{AE}}{{BE}}\]

+) Mà \(EI\) là tia phân giác của góc \(AEB\) nên suy ra:

 \[\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{\frac{3}{2}R}}{{\frac{1}{2}R}} = 3\]

+) Suy ra: \[\frac{{OA}}{{OH}} = 3\], do đó \[OA = 3.OH\]

c) +) Chứng minh được: \[OD = 3.OH\] suy ra \[HD = \frac{2}{3}OD\]

+) Suy ra: \(H\) là trọng tâm \[\Delta ABD\]

+) Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(BD\)

Suy ra: \(A,\,H,\,K,\,E\) thẳng hàng

+) Suy ra: \(K\) là trực tâm của \[\Delta ABQ\]

+) Suy ra: \(KQ\) vuông góc \(AB\)

+) Chứng minh được: \(KI\)  vuông góc \(AB\)

+) Suy ra: \(Q,\,K,\,I\) thẳng hàng