(1,5 điểm) Tỉ lệ học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường được cho trong bảng sau:

Cầu thủ	Tuấn	Trường	An	Linh
Tỉ lệ học sinh bình chọn	\(30\% \)	\(25\% \)	\(10\% \)	\(35\% \)

Biết rằng có \(500\) học sinh tham gia bình chọn.

1) Hãy lập bảng tần số học sinh bình chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường.

2) Hãy tính xác suất cầu thủ được chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường có tên bắt đầu bởi chữ cái “\(T\)”.

Gọi chiều rộng của đáy hộp là \(x\)( \(x > 0\), cm).

                 Ta có chiều dài của hộp là \(\frac{{500}}{{2x}}\) (cm)

                 Ta có diện tích toàn phần của chiếc hộp là

                 \(S = 2x \cdot \frac{{500}}{{2x}} + 2\left( {x + \frac{{500}}{{2x}}} \right) \cdot 2 = 500 + 2x + \frac{{250}}{x}\) (cm2)

                 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương \(2x\) và \(\frac{{250}}{x}\), ta có

                 \(2x + \frac{{250}}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \frac{{250}}{x}}  = 20\sqrt 5 \)

                 Từ đó  \(S \ge 500 + 20\sqrt 5 \,\,\) (cm2)

                 Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2x = \frac{{250}}{x}\) hay \({x^2} = \frac{{250}}{2} = 125\)

                 Suy ra \(x = 5\sqrt 5 \)cm, từ đó \(\frac{{250}}{{5\sqrt 5 }} = 10\sqrt 5 \)cm.

                 Vậy chiều rộng của hộp là \(5\sqrt 5 \)cm, chiều dài là \(10\sqrt 5 \)cm.

            Chứng minh bổ sung Bất đẳng thức Cauchy

            Xét hai số thực dương \(a\), \(b\)ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).

            Thật vậy, vì \(a\), \(b\) là các số thực dương nên

            Từ \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \), suy ra \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

            Hay \({\left( {\sqrt a } \right)^2} + {\left( {\sqrt b } \right)^2} - 2\sqrt {ab}  \ge 0\)

                    \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

            Vậy với hai số thực dương \(a\), \(b\) bất kỳ ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).

            Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(a = b\)