(0,5 điểm) Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích \(500\)cm3, chiều cao của hộp là \(2\)cm. Tìm kích thước đáy của hộp sao cho sử dụng ít vật liệu nhất.

              

Gọi chiều rộng của đáy hộp là \(x\)( \(x > 0\), cm).

                 Ta có chiều dài của hộp là \(\frac{{500}}{{2x}}\) (cm)

                 Ta có diện tích toàn phần của chiếc hộp là

                 \(S = 2x \cdot \frac{{500}}{{2x}} + 2\left( {x + \frac{{500}}{{2x}}} \right) \cdot 2 = 500 + 2x + \frac{{250}}{x}\) (cm2)

                 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương \(2x\) và \(\frac{{250}}{x}\), ta có

                 \(2x + \frac{{250}}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \frac{{250}}{x}}  = 20\sqrt 5 \)

                 Từ đó  \(S \ge 500 + 20\sqrt 5 \,\,\) (cm2)

                 Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2x = \frac{{250}}{x}\) hay \({x^2} = \frac{{250}}{2} = 125\)

                 Suy ra \(x = 5\sqrt 5 \)cm, từ đó \(\frac{{250}}{{5\sqrt 5 }} = 10\sqrt 5 \)cm.

                 Vậy chiều rộng của hộp là \(5\sqrt 5 \)cm, chiều dài là \(10\sqrt 5 \)cm.

            Chứng minh bổ sung Bất đẳng thức Cauchy

            Xét hai số thực dương \(a\), \(b\)ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).

            Thật vậy, vì \(a\), \(b\) là các số thực dương nên

            Từ \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \), suy ra \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

            Hay \({\left( {\sqrt a } \right)^2} + {\left( {\sqrt b } \right)^2} - 2\sqrt {ab}  \ge 0\)

                    \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

            Vậy với hai số thực dương \(a\), \(b\) bất kỳ ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).

            Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(a = b\)