Tìm số hạng chứa \[{x^2}\] trong khai triển \[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}}\] với \[x \ne 0\], biết \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\].

Ta có: \[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\] (điều kiện \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\))

\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + 2n = 4.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 4n = 8.\frac{{n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]

\[ \Leftrightarrow 3n.\left( {n + 1} \right) + 4n = 8n.\left( {n - 1} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]

Với \[n = 3\], ta có:

 \[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}} = {\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\]

\[ = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4} + 4x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 6{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4{x^3}.\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^4}\]

\[ = \frac{1}{{{x^4}}} + 4.\frac{1}{{{x^2}}} + 6 + 4{x^2} + {x^4}\].

Vậy số hạng chứa \[{x^2}\] là: \[4{x^2}\].