1. Một đội công nhân phải trồng \(96\) cây xanh. Đội dự định chia đều số cây cho mỗi công nhân nhưng khi chuẩn bị trồng thì có \(4\) công nhân được điều đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải trồng thêm \(4\) cây. Hỏi lúc đầu đội công nhân có bao nhiêu người?

2. Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 3x + m\). Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + 2{x_2} = m + 3\).

1) Gọi số công nhân lúc đầu của đội là \(x\) (người). ĐK: \(x > 4,x \in \mathbb{N}\)

Số công nhân làm việc thực tế là \(x - 4\) (người)

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{x}\) (cây)

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{{x - 4}}\) (cây)

Ta có phương trình \(\frac{{96}}{{x - 4}} - \frac{{96}}{x} = 4\)

\( \Rightarrow 96x - 96\left( {x - 4} \right) = 4x\left( {x - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 96x - 96x + 384 = 4{x^2} - 16x\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 16x - 384 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0\)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 96} \right) = 100\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2 + \sqrt {100}  = 12\) (thỏa mãn), \({x_1} = 2 - \sqrt {100}  =  - 8\) (loại)

Vậy số công nhân lúc đầu của đội là \(12\) (người).

2) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:

\({x^2} = 3x + m \Leftrightarrow {x^2} - 3x - m = 0\)   (*)

\(\Delta  = 9 + 4m\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 + 4m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 9}}{4}\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,(1)\\{x_1}{x_2} =  - m\,\,(2)\end{array} \right.\)

Theo đề \({x_1} + 2{x_2} = m + 3\)  (3)

Từ (1), (3) suy ra \(3 + {x_2} = m + 3 \Leftrightarrow {x_2} = m \Rightarrow {x_1} = 3 - m\)

Thay vào (2) ta có \[m\left( {3 - m} \right) =  - m\] \[ \Leftrightarrow m\left( {4 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\4 - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\]

Vậy \[m = 0\] hoặc \[m = 4\].