Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và các đường cao \(AF,BD,CE\) cắt nhau tại \(H\).

1. Chứng minh rằng: \(\widehat {DAH} = \widehat {DEH}\).

2. Gọi \(O\) và \(M\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AH\). Chứng minh rằng: Tứ giác \(MDOE\) nội tiếp.

3. Gọi \(K\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\). Chứng minh rằng: \(A{H^2} = 2MK.\left( {AF + HF} \right)\).

Xét ba \(a - 1;b - 1;c - 1\) số luôn có hai số cùng dấu.

Giả sử \(a - 1;b - 1\) là hai số cùng dâu, suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow c\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0\)

\( \Rightarrow abc - ac - bc + c \ge 0\)

\( \Rightarrow 2abc + 2c \ge 2ac + 2bc\)   (1)

Lại có \({\left( {c - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} - 2c + 1 \ge 0\)  (2)

Từ (1), (2) ta có \(2abc + {c^2} + 1 \ge 2ac + 2bc\)

Suy ra \({a^2} + {b^2} + 2abc + {c^2} + 1 \ge 2ab + 2ac + 2bc\) (đpcm)

1) Gọi số công nhân lúc đầu của đội là \(x\) (người). ĐK: \(x > 4,x \in \mathbb{N}\)

Số công nhân làm việc thực tế là \(x - 4\) (người)

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{x}\) (cây)

Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{{x - 4}}\) (cây)

Ta có phương trình \(\frac{{96}}{{x - 4}} - \frac{{96}}{x} = 4\)

\( \Rightarrow 96x - 96\left( {x - 4} \right) = 4x\left( {x - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 96x - 96x + 384 = 4{x^2} - 16x\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 16x - 384 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0\)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 96} \right) = 100\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2 + \sqrt {100}  = 12\) (thỏa mãn), \({x_1} = 2 - \sqrt {100}  =  - 8\) (loại)

Vậy số công nhân lúc đầu của đội là \(12\) (người).

2) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:

\({x^2} = 3x + m \Leftrightarrow {x^2} - 3x - m = 0\)   (*)

\(\Delta  = 9 + 4m\)

Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 + 4m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 9}}{4}\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,(1)\\{x_1}{x_2} =  - m\,\,(2)\end{array} \right.\)

Theo đề \({x_1} + 2{x_2} = m + 3\)  (3)

Từ (1), (3) suy ra \(3 + {x_2} = m + 3 \Leftrightarrow {x_2} = m \Rightarrow {x_1} = 3 - m\)

Thay vào (2) ta có \[m\left( {3 - m} \right) =  - m\] \[ \Leftrightarrow m\left( {4 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\4 - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\]

Vậy \[m = 0\] hoặc \[m = 4\].