Cho \(a,b,c\)là các số thực dương. Chứng minh rằng: \({a^2} + {b^2} + 2abc + {c^2} + 1 \ge 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét ba \(a - 1;b - 1;c - 1\) số luôn có hai số cùng dấu.
Giả sử \(a - 1;b - 1\) là hai số cùng dâu, suy ra \(\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow c\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow abc - ac - bc + c \ge 0\)
\( \Rightarrow 2abc + 2c \ge 2ac + 2bc\) (1)
Lại có \({\left( {c - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} - 2c + 1 \ge 0\) (2)
Từ (1), (2) ta có \(2abc + {c^2} + 1 \ge 2ac + 2bc\)
Suy ra \({a^2} + {b^2} + 2abc + {c^2} + 1 \ge 2ab + 2ac + 2bc\) (đpcm)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1) Vì \(BD,CE\) là đường cao nên \(\widehat {BDA} = \widehat {CEA} = 90^\circ \)
Tứ giác \(ADHE\) có \(\widehat {HDA} + \widehat {HEA} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \(ADHE\) nội tiếp đường tròn, suy ra \(\widehat {DAH} = \widehat {DEH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HE\))
Vậy \(\widehat {DAH} = \widehat {DEH}\).
2) Tam giác \(ADH\) vuông tại \(D\) có \(DM\) là trung tuyến (là trung điểm \(AH\)), suy ra \(MD = MA = MH = \frac{{AH}}{2}\)
Tương tự: \(ME = MA = MH = \frac{{AH}}{2}\)
Suy ra \(MD = MA = MH = ME\) \( \Rightarrow \Delta MAD\) cân tại \(M\), suy ra \(\widehat {MDA} = \widehat {MAD}\).
Tương tự: \(\widehat {ODC} = \widehat {OCD}\)
Do đó: \(\widehat {MDA} + \widehat {ODC} = \widehat {MAD} + \widehat {OCD} = 90^\circ \)
Suy ra \(\widehat {MDO} = 90^\circ \)
Tương tự: \(\widehat {MEO} = 90^\circ \)
Tứ giác \(MDOE\) có \(\widehat {MDO} + \widehat {MEO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \(MDOE\) nội tiếp đường tròn.
3) Ta có \(A{H^2} = 2MK.\left( {AF + HF} \right)\) (1)
\( \Leftrightarrow A{H^2} = 2MK.\left( {AH + HF + HF} \right)\)
\( \Leftrightarrow 4M{H^2} = 2MK.\left( {2HM + 2HF} \right)\)
\( \Leftrightarrow M{H^2} = MK.HM + MK.HF\)
\( \Leftrightarrow M{H^2} - MK.HM = MK.HF\)
\( \Leftrightarrow MH.\left( {MH - MK} \right) = MK.HF\)
\( \Leftrightarrow MH.HK = MK.HF\)
Tam giác \(DKM\) đồng dạng với tam giác \(FDM\) suy ra \(\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{{DK}}{{DH}}\) (2)
Vì (2) được chứng minh nên (1) được chứng minh.
Vậy \(A{H^2} = 2MK.\left( {AF + HF} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1) Gọi số công nhân lúc đầu của đội là \(x\) (người). ĐK: \(x > 4,x \in \mathbb{N}\)
Số công nhân làm việc thực tế là \(x - 4\) (người)
Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{x}\) (cây)
Số cây xanh mỗi công nhân trồng theo dự định là \(\frac{{96}}{{x - 4}}\) (cây)
Ta có phương trình \(\frac{{96}}{{x - 4}} - \frac{{96}}{x} = 4\)
\( \Rightarrow 96x - 96\left( {x - 4} \right) = 4x\left( {x - 4} \right)\)
\( \Leftrightarrow 96x - 96x + 384 = 4{x^2} - 16x\)
\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 16x - 384 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 96 = 0\)
\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 96} \right) = 100\)
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2 + \sqrt {100} = 12\) (thỏa mãn), \({x_1} = 2 - \sqrt {100} = - 8\) (loại)
Vậy số công nhân lúc đầu của đội là \(12\) (người).
2) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là:
\({x^2} = 3x + m \Leftrightarrow {x^2} - 3x - m = 0\) (*)
\(\Delta = 9 + 4m\)
Để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:
\(\Delta > 0 \Leftrightarrow 9 + 4m > 0 \Leftrightarrow m > \frac{{ - 9}}{4}\)
Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\,\,(1)\\{x_1}{x_2} = - m\,\,(2)\end{array} \right.\)
Theo đề \({x_1} + 2{x_2} = m + 3\) (3)
Từ (1), (3) suy ra \(3 + {x_2} = m + 3 \Leftrightarrow {x_2} = m \Rightarrow {x_1} = 3 - m\)
Thay vào (2) ta có \[m\left( {3 - m} \right) = - m\] \[ \Leftrightarrow m\left( {4 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\4 - m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\]
Vậy \[m = 0\] hoặc \[m = 4\].
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập