Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BC của đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của MO và AB, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng MC với đường tròn (O), AI kéo dài cắt MO tại K.

a)     Chứng minh tứ giác MAOB là một tứ giác nội tiếp.

b)     Chứng minh AK vuông góc với IH

c)     Cho biết BC = 2 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài đoạn thẳng MK.

a) Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Nên tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO

b) Xét (O) có MA, MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M

Nên MA = MB

Lại có : OA = OB (= R)

Do đó: MO là đường trung trực của AB

Suy ra: \({\rm{MO }} \bot {\rm{ AB}}\)

Xét \({\rm{\Delta MAI}}\)và \({\rm{\Delta MCA}}\)có:

\(\widehat {{\rm{AMI}}}\)chung

\(\widehat {{\rm{MAI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ACM}}}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Do đó: \({\rm{\Delta MAI }} \sim {\rm{ }}\Delta {\rm{MCA}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MI}}{{MA}}\\ \Rightarrow M{A^2} = MI.MC\left( 1 \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác MAO vuông tại A, đường cao AH ta có

\(M{A^2} = MH.MO\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra: \(MI.MC = MH.MO\)

Xét \({\rm{\Delta MHI}}\)và \({\rm{\Delta MCO}}\)có:

\(\widehat {{\rm{OMC}}}\)chung

\(\frac{{MI}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}\)(vì MI.MC = MH.MO)

Do đó: \({\rm{\Delta MHI }} \sim {\rm{ }}\Delta {\rm{MCO}}\)

\( \Rightarrow \widehat {MHI} = \widehat {MCO}\)

Mà \(\widehat {MCO} = \widehat {IAH}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung IB)

Nên \(\widehat {MHI} = \widehat {IAH}\)

Ta có: \(\widehat {IHM} + \widehat {IHA} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {MHI} = \widehat {IAH}\)

Nên \(\widehat {IAH} + \widehat {IHA} = {90^0}\)

Do đó tam giác AIH vuông tại I

Vậy: \(AK \bot IH\)

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\end{array}\)

Xét \({\rm{\Delta ABC}}\)vuông tại A, ta có

\(\begin{array}{l}\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {30^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {MBH} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

Xét tam giác MAB cân tại M có

\(\widehat {MBH} = {60^0}\)

Nên tam giác MAB đều

Suy ra: MA = MB = AB = \(4\sqrt 3 \) (cm)

Xét tam giác BHM vuông tại H có:

\(MH = BM.\sin \widehat {MBH} = 4\sqrt 3 .\sin {60^0} = 6\)(cm)

Xét tam giác MBC vuông tại B ta có

\(\tan \widehat {BCM} = \frac{{MB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \(\widehat {BCM} = \widehat {HAK}\)

Nên

 \(\begin{array}{l}\tan \widehat {HAK} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{HK}}{{AH}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow HK = 3(cm)\end{array}\)

Ta có: MK = HM – HK = 6 – 3 = 3 (cm)

Vậy MK = 3 cm