Một nhóm gồm 15 học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây. Các bạn nam trồng được 54 cây, các bạn nữ trồng được 30 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây.

a) Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Nên tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO

b) Xét (O) có MA, MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M

Nên MA = MB

Lại có : OA = OB (= R)

Do đó: MO là đường trung trực của AB

Suy ra: \({\rm{MO }} \bot {\rm{ AB}}\)

Xét \({\rm{\Delta MAI}}\)và \({\rm{\Delta MCA}}\)có:

\(\widehat {{\rm{AMI}}}\)chung

\(\widehat {{\rm{MAI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ACM}}}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Do đó: \({\rm{\Delta MAI }} \sim {\rm{ }}\Delta {\rm{MCA}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MI}}{{MA}}\\ \Rightarrow M{A^2} = MI.MC\left( 1 \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác MAO vuông tại A, đường cao AH ta có

\(M{A^2} = MH.MO\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra: \(MI.MC = MH.MO\)

Xét \({\rm{\Delta MHI}}\)và \({\rm{\Delta MCO}}\)có:

\(\widehat {{\rm{OMC}}}\)chung

\(\frac{{MI}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}\)(vì MI.MC = MH.MO)

Do đó: \({\rm{\Delta MHI }} \sim {\rm{ }}\Delta {\rm{MCO}}\)

\( \Rightarrow \widehat {MHI} = \widehat {MCO}\)

Mà \(\widehat {MCO} = \widehat {IAH}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung IB)

Nên \(\widehat {MHI} = \widehat {IAH}\)

Ta có: \(\widehat {IHM} + \widehat {IHA} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {MHI} = \widehat {IAH}\)

Nên \(\widehat {IAH} + \widehat {IHA} = {90^0}\)

Do đó tam giác AIH vuông tại I

Vậy: \(AK \bot IH\)

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\end{array}\)

Xét \({\rm{\Delta ABC}}\)vuông tại A, ta có

\(\begin{array}{l}\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {30^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {MBH} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

Xét tam giác MAB cân tại M có

\(\widehat {MBH} = {60^0}\)

Nên tam giác MAB đều

Suy ra: MA = MB = AB = \(4\sqrt 3 \) (cm)

Xét tam giác BHM vuông tại H có:

\(MH = BM.\sin \widehat {MBH} = 4\sqrt 3 .\sin {60^0} = 6\)(cm)

Xét tam giác MBC vuông tại B ta có

\(\tan \widehat {BCM} = \frac{{MB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \(\widehat {BCM} = \widehat {HAK}\)

Nên

 \(\begin{array}{l}\tan \widehat {HAK} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{HK}}{{AH}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow HK = 3(cm)\end{array}\)

Ta có: MK = HM – HK = 6 – 3 = 3 (cm)

Vậy MK = 3 cm