Bạn Nam cắt một tấm bìa hình vuông cạnh 50 cm để được một hình chữ nhật và hai hình tròn (như Hình 1). Bạn ấy cuộn tròn hình chữ nhật và dán hai mép giấy lại với nhau. Bạn ấy dán tiếp hai hình tròn vào hai đầu để tạo thành một hình hộp hình trụ có nắp (như Hình 2).

Tính chiều cao của cái hộp tạo thành, biết chiều cao đó nhỏ hơn 50 cm, các mép dán không đáng kể.

a) Xét tứ giác MAOB có

\(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Nên tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính MO

b) Xét (O) có MA, MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M

Nên MA = MB

Lại có : OA = OB (= R)

Do đó: MO là đường trung trực của AB

Suy ra: \({\rm{MO }} \bot {\rm{ AB}}\)

Xét \({\rm{\Delta MAI}}\)và \({\rm{\Delta MCA}}\)có:

\(\widehat {{\rm{AMI}}}\)chung

\(\widehat {{\rm{MAI}}}{\rm{ = }}\widehat {{\rm{ACM}}}\)(góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Do đó: \({\rm{\Delta MAI }} \sim {\rm{ }}\Delta {\rm{MCA}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MI}}{{MA}}\\ \Rightarrow M{A^2} = MI.MC\left( 1 \right)\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác MAO vuông tại A, đường cao AH ta có

\(M{A^2} = MH.MO\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra: \(MI.MC = MH.MO\)

Xét \({\rm{\Delta MHI}}\)và \({\rm{\Delta MCO}}\)có:

\(\widehat {{\rm{OMC}}}\)chung

\(\frac{{MI}}{{MH}} = \frac{{MO}}{{MC}}\)(vì MI.MC = MH.MO)

Do đó: \({\rm{\Delta MHI }} \sim {\rm{ }}\Delta {\rm{MCO}}\)

\( \Rightarrow \widehat {MHI} = \widehat {MCO}\)

Mà \(\widehat {MCO} = \widehat {IAH}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung IB)

Nên \(\widehat {MHI} = \widehat {IAH}\)

Ta có: \(\widehat {IHM} + \widehat {IHA} = {90^0}\)

Mà \(\widehat {MHI} = \widehat {IAH}\)

Nên \(\widehat {IAH} + \widehat {IHA} = {90^0}\)

Do đó tam giác AIH vuông tại I

Vậy: \(AK \bot IH\)

c) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có

\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\\ \Rightarrow AB = 4\sqrt 3 \left( {cm} \right)\end{array}\)

Xét \({\rm{\Delta ABC}}\)vuông tại A, ta có

\(\begin{array}{l}\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow \widehat {ABC} = {30^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \widehat {MBH} = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

Xét tam giác MAB cân tại M có

\(\widehat {MBH} = {60^0}\)

Nên tam giác MAB đều

Suy ra: MA = MB = AB = \(4\sqrt 3 \) (cm)

Xét tam giác BHM vuông tại H có:

\(MH = BM.\sin \widehat {MBH} = 4\sqrt 3 .\sin {60^0} = 6\)(cm)

Xét tam giác MBC vuông tại B ta có

\(\tan \widehat {BCM} = \frac{{MB}}{{BC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \(\widehat {BCM} = \widehat {HAK}\)

Nên

 \(\begin{array}{l}\tan \widehat {HAK} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{HK}}{{AH}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow HK = 3(cm)\end{array}\)

Ta có: MK = HM – HK = 6 – 3 = 3 (cm)

Vậy MK = 3 cm