Ông Bình có một hồ nuôi cá có diện tích mặt hồ (miền tô màu như hình vẽ bên) được mô hình là miền giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị hàm số \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{{10}}{x^3} + \frac{9}{{10}}{x^2} - \frac{3}{2}x + \frac{{28}}{5}\). Đơn vị độ dài trên mỗi trục là \(100\) mét. Một con sông có bờ chạy dọc theo đường thẳng \(d:\,y =  - 1,5x + 18\). Ông Bình dự định xây trên bờ hồ một trạm để lọc nước cho hồ tại vị trí \(M\)sao cho khoảng cách từ trạm này đến bờ con sông là ngắn nhất. Nếu điểm xây trên bờ hồ (thuộc đồ thị đã cho) là \(M\left( {a;b} \right)\) thì số tiền để xây trạm tương ứng là \(\left( {4a + 5b} \right)\) triệu đồng, đồng thời chi phí mỗi mét ống nối từ trạm này ra bờ sông là \(0,45\)triệu đồng. Tổng chi phí (xây trạm và đường ống) ít nhất mà ông Bình dùng để hoàn thành công trình trên là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).

Đáp án: 23.4.

Hàm lợi nhuận là:

\(L\left( x \right) = 21Q\left( x \right) - 13Q\left( x \right) - x\)\( = 8Q\left( x \right) - x\)\( = 10000 + 2028\ln \left( {3 + x} \right) - x\) (triệu đồng)

\(L'\left( x \right) = \frac{{2028}}{{3 + x}} - 1 = \frac{{2025 - x}}{{3 + x}}\);

\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2025\)

\(L''\left( x \right) =  - \frac{{2028}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\); \(L''\left( {2025} \right) < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 2025\)

\({L_{\max }} = L\left( {2025} \right) = 23417,825\) (triệu đồng) \( \Rightarrow p = 23,4\) (tỷ đồng)

Đáp án: \[135\].

Gọi \(M,N,K,I\) lần lượt là trung điểm của \(BC,B'C',A'D',AD\).

Có \(IM \bot AD;IK \bot AD;KN \bot A'D';KI \bot A'D'\).

Suy ra góc phẳng nhị diện giữa đáy nhỏ và mặt bên là \(\widehat {IKN}\) và giữa đáy lớn với mặt bên là \(\widehat {KIM}\), dễ thấy \(\widehat {IKN}\) và \(\widehat {KIM}\) bù nhau.

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(K\) lên đáy lớn.

Có \(IH = \frac{{IM - KN}}{2} = \frac{{5 - 2}}{2} = \frac{3}{2}\;dm\)

và \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{1}{3}\left( {{5^2} + {2^2} + \sqrt {{5^2}{{.2}^2}} } \right).KH = 19,5 \Rightarrow KH = \frac{3}{2}\;dm\)

Trong tam giác vuông \(IHK\)có \(IH = KH\) nên \(\Delta IHK\) vuông cân, suy ra \(\widehat {KIH} = 45^\circ \).

Vậy \(\widehat {IKN} = 180^\circ  - \widehat {KIM} = 180^\circ  - 45^\circ  = 135^\circ \).