Trong một cảnh dựng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiềuc ao là 2 mét. Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị đo trên các trục tính bằng mét), với các điểm ở đáy \[A\left( {6;4;2} \right)\], \[B\left( {6;6;2} \right),C\left( {4;6;2} \right),D\left( {4;4;2} \right)\]và \(S\) là đỉnh của mái nhà.

Đáp án: 23.4.

Hàm lợi nhuận là:

\(L\left( x \right) = 21Q\left( x \right) - 13Q\left( x \right) - x\)\( = 8Q\left( x \right) - x\)\( = 10000 + 2028\ln \left( {3 + x} \right) - x\) (triệu đồng)

\(L'\left( x \right) = \frac{{2028}}{{3 + x}} - 1 = \frac{{2025 - x}}{{3 + x}}\);

\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2025\)

\(L''\left( x \right) =  - \frac{{2028}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\); \(L''\left( {2025} \right) < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 2025\)

\({L_{\max }} = L\left( {2025} \right) = 23417,825\) (triệu đồng) \( \Rightarrow p = 23,4\) (tỷ đồng)

Đáp án: 5,28.

Giả sử con ong di chuyển theo sơ đồ sau:\(A \to A' \to B \to C \to A\).

Để tổng quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là ngắn nhất thì sơ đồ di chuyển của con ong phải nằm trong mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với trục \(Ox\) \(\left( {Ox = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)} \right)\).

Ta có phương trình của \(\left( Q \right)\) là: \(x = 3\).

Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(mp\left( {Oxy} \right)\), ta có \(M\left( {3;2; - 1} \right)\).

Gọi \(d = \left( Q \right) \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow \)phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).

\(A' \in d \Rightarrow A'\left( {3;t;0} \right)\).

Gọi \(a = \left( Q \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow \)phương trình đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = u\\z = u\end{array} \right.\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(a\), ta có \(H\left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Gọi \(N\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AN} } \right| = 2;\overrightarrow {HO}  = \left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right),\left| {\overrightarrow {HO} } \right| = \frac{{3\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{9}.\overrightarrow {HO} \)

Suy ra \(N\left( {3 - \frac{{2\sqrt 6 }}{3};2 - \frac{{\sqrt 6 }}{3};1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\). Khi đó tứ giác\(ANBC\) là hình bình hành, suy ra \(CA = BN\)

Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(N\) qua đường thẳng \(a\), ta có: \(D\left( {3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3};1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3};2 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\) và \(BN = BD\)

Ta có tổng quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là:\(AA' + A'B + BC + CA = MA' + A'B + BD + 2 \ge MD + 2 \approx 5,28\).

\(\left( {MD = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3} + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}  \approx 3,28} \right)\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm \(M,A',B,D\) thẳng hàng.

Vậy độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là \(5,28\left( {dm} \right)\).