Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới. Số tiền đầu tư cho quảng cáo là \(x\) (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm \(Q\left( x \right) = 1250 + \frac{{507}}{2}\ln \left( {3 + x} \right)\)(đơn vị sản phẩm). Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là \(13\)triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là \(21\) triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là \(p\) tỷ đồng (số \(p\) được làm tròn đến hàng phần mười). Tìm số \(p\).

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.

a) Vì \({z_A} = {z_B} = {z_C} = {z_D} = 2\)nên đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z - 2 = 0\).

b) Tọa độ đinh chóp của mái nhà là \(S(5;4;5)\).

Gọi I là tâm của ABCD. Có I là trung điểm của AC nên \[I\left( {5;5;2} \right)\]. Có \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(S\left( {5;5;z} \right)\) với z > 2. Vì \(SI = 2 \Rightarrow \sqrt[{}]{{{0^2} + {0^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2}}} = 2 \Rightarrow \left| {z - 2} \right| = 2\) và \({z_S} > 2 \Rightarrow S\left( {5;5;4} \right)\)

c) Có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {SC}  = \left( { - 1;1; - 2} \right)\). Do đó mặt phẳng (SBC) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;4;2} \right)\). Mặt phẳng (Oxz) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;1;0} \right)\)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((Oxz)\) là \(\varphi \) thì \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {0 + 4 + 0} \right|}}{{\sqrt[{}]{{{0^2} + {4^2} + {2^2}}}.\sqrt[{}]{{{0^2} + {1^2} + {0^2}}}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\].

d) Phương trình tham số của đường thẳng \(LB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 10 - 4t\\z = 2\end{array} \right.\)

\(B'\left( {5 + t;\,10 - 5t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).

Suy ra: \(10 - 4t = 0\, \Leftrightarrow \,t = 2,5\). Do đó \(B'\left( {7,5;\,0;\,2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(LC\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = 10 - 4t\\z = 2\end{array} \right.\)

\(C'\left( {5 - t;\,10 - 4t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LC\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).

Suy ra: \(10 - 4t = 0\, \Leftrightarrow \,t = \frac{5}{2}\). Do đó \(C'\left( {\frac{5}{2};\,0;\,2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(LS\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 10 - 5t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)

Ta có \(S'\left( {5;\,10 - 5t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LS\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).

Suy ra: \(10 - 5t = 0\, \Leftrightarrow \,t = 2\). Do đó \(S'\left( {5;\,0;\,6} \right)\).

Ta có: \(S'B' = \frac{{\sqrt {89} }}{2}\), \(S'C' = \frac{{\sqrt {89} }}{2};\,B'C' = 5\)

Áp dụng công thức hê-rông tao có: \({S_{\Delta S'B'C'}} = \sqrt {\frac{{5 + \sqrt {89} }}{2}.\frac{5}{2}.\frac{5}{2}.\left( {\frac{{\sqrt {89}  - 5}}{2}} \right)}  = 10\)

Đáp án: 5,28.

Giả sử con ong di chuyển theo sơ đồ sau:\(A \to A' \to B \to C \to A\).

Để tổng quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là ngắn nhất thì sơ đồ di chuyển của con ong phải nằm trong mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với trục \(Ox\) \(\left( {Ox = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)} \right)\).

Ta có phương trình của \(\left( Q \right)\) là: \(x = 3\).

Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(mp\left( {Oxy} \right)\), ta có \(M\left( {3;2; - 1} \right)\).

Gọi \(d = \left( Q \right) \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow \)phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).

\(A' \in d \Rightarrow A'\left( {3;t;0} \right)\).

Gọi \(a = \left( Q \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow \)phương trình đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = u\\z = u\end{array} \right.\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(a\), ta có \(H\left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Gọi \(N\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AN} } \right| = 2;\overrightarrow {HO}  = \left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right),\left| {\overrightarrow {HO} } \right| = \frac{{3\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{9}.\overrightarrow {HO} \)

Suy ra \(N\left( {3 - \frac{{2\sqrt 6 }}{3};2 - \frac{{\sqrt 6 }}{3};1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\). Khi đó tứ giác\(ANBC\) là hình bình hành, suy ra \(CA = BN\)

Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(N\) qua đường thẳng \(a\), ta có: \(D\left( {3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3};1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3};2 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\) và \(BN = BD\)

Ta có tổng quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là:\(AA' + A'B + BC + CA = MA' + A'B + BD + 2 \ge MD + 2 \approx 5,28\).

\(\left( {MD = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3} + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}  \approx 3,28} \right)\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm \(M,A',B,D\) thẳng hàng.

Vậy độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là \(5,28\left( {dm} \right)\).