Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới. Số tiền đầu tư cho quảng cáo là \(x\) (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm sản xuất và bán ra phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm \(Q\left( x \right) = 1250 + \frac{{507}}{2}\ln \left( {3 + x} \right)\)(đơn vị sản phẩm). Biết rằng, chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là \(13\)triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là \(21\) triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là \(p\) tỷ đồng (số \(p\) được làm tròn đến hàng phần mười). Tìm số \(p\).

Đáp án: 101

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - \frac{3}{{10}}{x^2} + \frac{9}{5}x - \frac{3}{2} \Rightarrow f'\left( a \right) =  - \frac{3}{{10}}{a^2} + \frac{9}{5}a - \frac{3}{2}\)

Để khoảng cách từ trạm này đến bờ con sông là ngắn nhất thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại \(M\) song song với đường thẳng \(d \Rightarrow f'\left( a \right) =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\,(ktm)\\a = 6\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {6;\frac{{37}}{5}} \right)\)

Suy ra: \[d\left( {M;d} \right) = \frac{{\left| {1,5.6 + \frac{{37}}{5} - 18} \right|}}{{\sqrt {1,{5^2} + 1} }} = \frac{{16\sqrt {13} }}{{65}}\]

Vậy tổng chi phí là \(4.6 + 5.\frac{{37}}{5} + \frac{{16\sqrt {13} }}{{65}}.100.0.45 = \frac{{144\sqrt {13} }}{{13}} + 61 \approx 101\) (triệu đồng).

Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.

a) Vì \({z_A} = {z_B} = {z_C} = {z_D} = 2\)nên đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z - 2 = 0\).

b) Tọa độ đinh chóp của mái nhà là \(S(5;4;5)\).

Gọi I là tâm của ABCD. Có I là trung điểm của AC nên \[I\left( {5;5;2} \right)\]. Có \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(S\left( {5;5;z} \right)\) với z > 2. Vì \(SI = 2 \Rightarrow \sqrt[{}]{{{0^2} + {0^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2}}} = 2 \Rightarrow \left| {z - 2} \right| = 2\) và \({z_S} > 2 \Rightarrow S\left( {5;5;4} \right)\)

c) Có \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {SC}  = \left( { - 1;1; - 2} \right)\). Do đó mặt phẳng (SBC) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;4;2} \right)\). Mặt phẳng (Oxz) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = \left( {0;1;0} \right)\)

Do đó góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((Oxz)\) là \(\varphi \) thì \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {0 + 4 + 0} \right|}}{{\sqrt[{}]{{{0^2} + {4^2} + {2^2}}}.\sqrt[{}]{{{0^2} + {1^2} + {0^2}}}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\].

d) Phương trình tham số của đường thẳng \(LB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 10 - 4t\\z = 2\end{array} \right.\)

\(B'\left( {5 + t;\,10 - 5t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).

Suy ra: \(10 - 4t = 0\, \Leftrightarrow \,t = 2,5\). Do đó \(B'\left( {7,5;\,0;\,2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(LC\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = 10 - 4t\\z = 2\end{array} \right.\)

\(C'\left( {5 - t;\,10 - 4t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LC\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).

Suy ra: \(10 - 4t = 0\, \Leftrightarrow \,t = \frac{5}{2}\). Do đó \(C'\left( {\frac{5}{2};\,0;\,2} \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(LS\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 10 - 5t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)

Ta có \(S'\left( {5;\,10 - 5t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LS\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).

Suy ra: \(10 - 5t = 0\, \Leftrightarrow \,t = 2\). Do đó \(S'\left( {5;\,0;\,6} \right)\).

Ta có: \(S'B' = \frac{{\sqrt {89} }}{2}\), \(S'C' = \frac{{\sqrt {89} }}{2};\,B'C' = 5\)

Áp dụng công thức hê-rông tao có: \({S_{\Delta S'B'C'}} = \sqrt {\frac{{5 + \sqrt {89} }}{2}.\frac{5}{2}.\frac{5}{2}.\left( {\frac{{\sqrt {89}  - 5}}{2}} \right)}  = 10\)