Trong không gian \(Oxyz\), với đơn vị dài trên mỗi trục là \(1dm\). Một con ong mật xuất phát tại vị trí điểm \(A\left( {3;2;1} \right)\) bay xuống mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nó nghỉ tại chỗ một lát rồi sau đó bay đến mặt phẳng \(\left( P \right):y - z = 0\). Tại mặt phẳng \(\left( P \right)\) con ong mật cẩn thận bò đi một đoạn thảng có độ dài bằng \(2dm\), sau đó nó bay trở về vị trí xuất phát. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện (kết quả tính theo đơn vị \(dm\) và làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: 5,28.

Giả sử con ong di chuyển theo sơ đồ sau:\(A \to A' \to B \to C \to A\).

Để tổng quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là ngắn nhất thì sơ đồ di chuyển của con ong phải nằm trong mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với trục \(Ox\) \(\left( {Ox = \left( P \right) \cap \left( {Oxy} \right)} \right)\).

Ta có phương trình của \(\left( Q \right)\) là: \(x = 3\).

Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(mp\left( {Oxy} \right)\), ta có \(M\left( {3;2; - 1} \right)\).

Gọi \(d = \left( Q \right) \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow \)phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\).

\(A' \in d \Rightarrow A'\left( {3;t;0} \right)\).

Gọi \(a = \left( Q \right) \cap \left( P \right) \Rightarrow \)phương trình đường thẳng \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = u\\z = u\end{array} \right.\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên \(a\), ta có \(H\left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Gọi \(N\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AN} } \right| = 2;\overrightarrow {HO}  = \left( {3;\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right),\left| {\overrightarrow {HO} } \right| = \frac{{3\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AN}  = \frac{{2\sqrt 6 }}{9}.\overrightarrow {HO} \)

Suy ra \(N\left( {3 - \frac{{2\sqrt 6 }}{3};2 - \frac{{\sqrt 6 }}{3};1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\). Khi đó tứ giác\(ANBC\) là hình bình hành, suy ra \(CA = BN\)

Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(N\) qua đường thẳng \(a\), ta có: \(D\left( {3 + \frac{{2\sqrt 6 }}{3};1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3};2 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)\) và \(BN = BD\)

Ta có tổng quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là:\(AA' + A'B + BC + CA = MA' + A'B + BD + 2 \ge MD + 2 \approx 5,28\).

\(\left( {MD = \sqrt {{{\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{3} + 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}}  \approx 3,28} \right)\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm \(M,A',B,D\) thẳng hàng.

Vậy độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ong mật đã thực hiện là \(5,28\left( {dm} \right)\).