Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\)và \(I\) là giao điểm của hai đường tiệm cận. Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm trên đồ thị \(\left( C \right)\) có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại \(M\)với \(\left( C \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm A, B thỏa mãn \(I{A^2} + I{B^2} = 40\). Tính giá trị của biểu thức \(P = x_0^2 + y_0^2 + {x_0}{y_0}\) ?

Lời giải

Đáp án 37

Gọi số tiền anh Huy gửi vào ngân hàng ban đầu là \(A\) (triệu đồng), với lãi suất \(r/\)tháng, và

số tiền anh rút ra hàng tháng là \(m\) (triệu đồng) thì:

- Sau 1 tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là: \({C_1} = A\left( {1 + r} \right) - m\)

- Sau 2 tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là: \({C_2} = \left[ {A\left( {1 + r} \right) - m} \right]\left( {1 + r} \right) - m\)

                                                                                              \( = A{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right) - m\)

- Sau 3 tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là: \({C_3} = \left[ {A{{\left( {1 + r} \right)}^2} - m\left( {1 + r} \right) - m} \right]\left( {1 + r} \right) - m\)

                                                                                              \( = A{\left( {1 + r} \right)^3} - m{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right) - m\)

 …………………………………………………….

- Sau \(n\) tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là:              

                                \({C_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n} - m{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}} - m{\left( {1 + r} \right)^{n - 2}} - ... - m\left( {1 + r} \right) - m\)

                                     \( = A{\left( {1 + r} \right)^n} - m.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\).

   Anh Huy rút hết tiền khi: \({C_n} = 0 \Leftrightarrow A{\left( {1 + r} \right)^n} - m.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r} = 0\)

                                                           \( \Leftrightarrow \left( {m - Ar} \right){\left( {1 + r} \right)^n} = m\)

                                                                     \( \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^n} = \frac{m}{{m - Ar}}\)

                                                                     \( \Leftrightarrow n = {\log _{\left( {1 + r} \right)}}\frac{m}{{m - Ar}}\)

Thay \(A = 1000\)(triệu), \(m = 30\)(triệu), \(r = 0,5\% = 0,005\)

Ta được \(n \approx 36,6\). Tức là sau 37 tháng anh Huy sẽ rút hết tiền trong ngân hàng.

a) Sai (Nam giải chắc chắn đúng 10 câu nên Nam cần trả lời đúng thêm 10 câu. Xác suất là \(C_{10}^{10}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{10}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^0}\)\[ = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{10}}\]).

b) Sai.

c) Sai. Để Nam đạt được đúng \(8\) điểm thì trong 10 câu còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án phải đúng 6 câu nữa (vì đã có 5 điểm chắc chắn), sai 4 câu.

Xác suất khi đánh ngẫu nhiên đúng một câu trắc nghiệm là \[\frac{1}{4}\].

Xác suất khi đánh ngẫu nhiên sai một câu trắc nghiệm là\(\frac{3}{4}\).

Chọn \(6\) câu trắc nghiệm để đáp đúng từ \(10\)câu trắc nghiệm có: \(C_{10}^6\)(cách)

Vậy, xác suất để Nam đạt được đúng \(8\) điểm là \(C_{10}^6.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^6}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^4}\).

d) Đúng. 

Để đạt 9 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 8 câu. Xác suất là \(C_{10}^8.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^8}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\)

Để đạt 9,5 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 9 câu. Xác suất là \(C_{10}^9.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^9}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^1}\)

Để đạt 10 điểm, Nam cần trả lời đúng thêm 10 câu. Xác suất là \(C_{10}^{10}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{10}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^0}\)

Như vậy, xác suất để đạt từ 9 điểm trở lên là tổng xác suất đạt 9 điểm, 9,5 điểm , 10 điểm và bằng \(C_{10}^8.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^8}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\)+\(C_{10}^9.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^9}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^1}\)+\(C_{10}^{10}.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{10}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^0}\)\( \approx 0,0004158 > 0,0004\).