Trong một buổi cắm trại bên bờ hồ, các đội thi đua chạy từ lều chỉ huy A cách bờ hồ 20 m đến hồ lấy nước và mang về lều chỉ huy B cách bờ hồ 50 m.

Hai lều chỉ huy A và B cách nhau 50 m. Đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Đáp án: 1

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\) là \(\left( { - 1;2} \right);\left( {1; - 2} \right)\)

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị \(2x + y = 0\)(d)

Hai điểm A, B nằm cùng phía đối với d . Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với A qua d.

Khi đó \[MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB = MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB \ge A'B\].

Do đó \[MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB\] ngắn nhất thì \(M,A',B\)thẳng hàng hay \(M = A'B \cap d\).

\(\Delta \) là đường thẳng đi qua A và vuông góc d

PT \(\Delta \) \(\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 3 = 0\)

Gọi I là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow I\left( { - \frac{3}{5};\frac{6}{5}} \right)\)\( \Rightarrow A'\left( { - \frac{{11}}{5};\frac{2}{5}} \right)\).

\(\overrightarrow {A'B}  = \left( {\frac{{21}}{5};\frac{3}{5}} \right) \Rightarrow \)VTPT của \(A'B\)là \(\overrightarrow n \left( {3; - 21} \right)\)

PT \(A'B\):\(3\left( {x - 2} \right) - 21\left( {y - 1} \right) = 0\)  \( \Leftrightarrow 3x - 21y + 15 = 0\)

\(M = A'B \cap d \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\)nên \(a =  - \frac{1}{3};b = \frac{2}{3}\)

Khi đó \(b - a = \frac{2}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = 1\).

Đáp số: 9.

Gọi \(x,y\)lần lượt là số xe loại A và B mà đại lý cần thuê. ĐK \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\end{array} \right.\)

Từ đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}20{\rm{x}} + 10y \ge 140\\0,6{\rm{x}} + 1,5y \ge 9\end{array} \right.\).

Khi đó, số tiền thuê xe là: \(T = 5x + 4,5y\).

Miền nghiệm \(\left( {x,y} \right)\)là tứ giác \(ABC{\rm{D}}\) với \(A(\frac{5}{2};9),\,\,\,B(5;4),\,\,C(10;2),\,\,D(10;9).\)

Tại đỉnh \(B\)thì \(T = 43\) đạt giá trị nhỏ nhất nên \(x = 5,y = 4 \Rightarrow 2x + y = 14.\)