Một đại lý vật liệu cần thuê xe chở 140 tấn xi măng và 9 tấn thép tới công trình xây dựng. Nơi thuê có hai loại xe A và B, trong đó xe A có 10 chiếc và xe B có 9 chiếc. Mỗi xe loại A cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại B cho thuê với giá 4,5 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A chở tối đa 20 tấn xi măng và 0,6 tấn thép, mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 tấn xi măng và 1,5 tấn thép. Để số tiền thuê xe ít nhất đại lý đã thuê \[x\] chiếc xe loại A và \[y\] chiếc xe loại \(B.\) Tính \[2x + y\]

Lời giải

Đáp án 37

Gọi số tiền anh Huy gửi vào ngân hàng ban đầu là \(A\) (triệu đồng), với lãi suất \(r/\)tháng, và

số tiền anh rút ra hàng tháng là \(m\) (triệu đồng) thì:

- Sau 1 tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là: \({C_1} = A\left( {1 + r} \right) - m\)

- Sau 2 tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là: \({C_2} = \left[ {A\left( {1 + r} \right) - m} \right]\left( {1 + r} \right) - m\)

                                                                                              \( = A{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right) - m\)

- Sau 3 tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là: \({C_3} = \left[ {A{{\left( {1 + r} \right)}^2} - m\left( {1 + r} \right) - m} \right]\left( {1 + r} \right) - m\)

                                                                                              \( = A{\left( {1 + r} \right)^3} - m{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left( {1 + r} \right) - m\)

 …………………………………………………….

- Sau \(n\) tháng gửi, số tiền anh Huy còn lại là:              

                                \({C_n} = A{\left( {1 + r} \right)^n} - m{\left( {1 + r} \right)^{n - 1}} - m{\left( {1 + r} \right)^{n - 2}} - ... - m\left( {1 + r} \right) - m\)

                                     \( = A{\left( {1 + r} \right)^n} - m.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\).

   Anh Huy rút hết tiền khi: \({C_n} = 0 \Leftrightarrow A{\left( {1 + r} \right)^n} - m.\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r} = 0\)

                                                           \( \Leftrightarrow \left( {m - Ar} \right){\left( {1 + r} \right)^n} = m\)

                                                                     \( \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^n} = \frac{m}{{m - Ar}}\)

                                                                     \( \Leftrightarrow n = {\log _{\left( {1 + r} \right)}}\frac{m}{{m - Ar}}\)

Thay \(A = 1000\)(triệu), \(m = 30\)(triệu), \(r = 0,5\% = 0,005\)

Ta được \(n \approx 36,6\). Tức là sau 37 tháng anh Huy sẽ rút hết tiền trong ngân hàng.

Trả lời: 80,6.

Vẽ \(AC \bot BF\). Ta có \(CF = 20\;m,BC = 30\;m\). Suy ra \(EF = AC = 40\;m\).

Gọi \(D\) là điểm ở bờ hồ \[EF\] mà các đội đến lấy nước.

Đặt \(ED = x\) thì \(DF = 40 - x;AD = \sqrt {{x^2} + 400} \);

\(BD = \sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} \).

Quãng đường mỗi lượt các đội phải đi là

\(s = AD + BD = \sqrt {{x^2} + 400} + \sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} \).

Xét hàm số \(f(x) = \sqrt {{x^2} + 400} + \sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} (0 \le x \le 40)\).

Ta có \({f^\prime }(x) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 400} }} - \frac{{40 - x}}{{\sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} }}\);

\({f^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 400} }} = \frac{{40 - x}}{{\sqrt {{{(40 - x)}^2} + 2500} }} \Leftrightarrow 2500{x^2} - {[20(40 - x)]^2} = 0 \Leftrightarrow x \approx 11,4\)

Lập bảng biến thiên, ta thấy \(s\) nhỏ nhất là khoảng \(80,6\;m\) khi \(x \approx 11,4\;m\).

Vậy đoạn đường đi ngắn nhất mỗi lượt các đội có thể đi là khoảng \(80,6\;m\).