Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3 (m³). Tỉ số giữa chiều cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có nắp). Tính chiều dài của đáy (x) để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga. (x, y, h > 0).

Hướng dẫn giải

Thể tích hố được tính là \(V = xyh = 3 = 4x{y^2} \Leftrightarrow x = \frac{3}{{4{y^2}}}\)vì \(h = 4y\).

Vật liệu tốn ít nhất khi diện tích toàn phần cái hố (không nắp) nhỏ nhất

\(S = xy + 2xh + 2yh = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2}\)

\( = \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}}.\frac{{27}}{{8y}}.8{y^2}}} = \frac{{27}}{2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2} \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{4}{3}\left( {\rm{m}} \right)\).