Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), gọi \(I,K\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB,CD\). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) tại điểm \(I\) lấy điểm \(S\), sao cho tam giác \(SAB\) đều.

a) Xác định và tính góc giữa đường thẳng \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\) theo \(a\).

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\,\,\,\\AD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA\).

\[ \Rightarrow SA\] là hình chiếu của \[SD\] lên mặt phẳng \[(SAB)\]

\[ \Rightarrow \]\(\left( {SD,(SAB)} \right) = \left( {SD,SA} \right) = \widehat {DSA} < 90^\circ \).

Vì \(SA = AD = a,SA \bot AD\) nên \[\Delta SAD\] vuông cân tại \[A\].

Vậy \[\left( {SD,\left( {SAB} \right)} \right) = \widehat {DSA} = 45^\circ \].

b) \[AB//CD \Rightarrow AB//(SCD) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SCD} \right)} \right)\]

Có \[\left. \begin{array}{l}CD \bot IK\,\,\,\left( {IK//AD,CD \bot AD} \right)\\CD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SIK)\].

Hạ \(IM \bot SK\) tại \(M\).

Có \[\left. \begin{array}{l}CD \bot IM\,\,\,\left( {CD \bot \left( {SIK} \right)} \right)\\SK \bot IM\,\,\end{array} \right\} \Rightarrow IM \bot (SCD) \Rightarrow d(I,(SCD)) = IM\].

Vì \(\Delta SAB\) đều cạnh a nên \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Có \(IK = AD = a\).

Xét \[\Delta SIK:\frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{1}{{I{K^2}}} + \frac{1}{{I{S^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow IM = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].

Vậy  \[d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].