1.  Giải phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\)

2.  Cho phương trình \({x^2} - 2mx - {m^2} - 2 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình có 2 nghiệm \({x_1};{x_2}\) (với \({x_1} < {x_2}\)) thỏa mãn hệ thức \({x_2} - 2\left| {{x_1}} \right| - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4\)

1. Đường thằng \(\left( d \right):y = ax + b\) có hệ số góc là \(3\) nên \(a = 3\)

Khi đó: \(\left( d \right):y = 3x + b\) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) nên thay \(x =  - 1;y = 2\) ta được: \(2 = 3.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 5\)

Vậy \(a = 3;b = 5\)

2.    \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 6\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 4\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\1 - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x;y) = (1;3)\)

Ta chứng minh bổ đề: \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge \frac{8}{{{{(m + n)}^2}}}\)

Áp dụng BĐT Cô si: \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{m^2}{n^2}}}}  = \frac{2}{{mn}}.\,\,\)

\(Do\,\,mn \le \frac{{{{(m + n)}^2}}}{4}\)   Nên suy ra \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge \frac{8}{{{{(m + n)}^2}}}\)

  Ta có:

 \[\begin{array}{l}4{{\rm{x}}^2} + 4 \ge 2\sqrt {4{{\rm{x}}^2}.4}  = 8{\rm{x}}\\4{y^2} + 4 \ge 8y\\4{z^2} + 4 \ge 8{\rm{z}}\end{array}\]

Cộng vế với vế ta được: \(24 \ge 8x + 8z + 2y \Leftrightarrow 3 \ge {\rm{x}} + {\rm{z}} + \frac{y}{4}\)

Ta lại có:

\(\frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{4} + 1} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {z + \frac{y}{4} + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} \ge \)

\( \ge 8.\frac{8}{{{{\left( {z + \frac{y}{4} + 2 + x + 3} \right)}^2}}} \ge 8.\frac{8}{{{{(3 + 2 + 3)}^2}}} = 1\)

\(\frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + 2023 \ge 1 + 2023 = 2024\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1;y = 4;z = 1\)