Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Thanh Hóa có đáp án

1.\[\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{x - 4}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 2) + (\sqrt x  + 1)(\sqrt x  + 2) - 2 - 5\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\\\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\frac{{x - 2\sqrt x  + x + 3\sqrt x  + 2 - 2 - 5\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{{2x - 4\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\frac{{2\sqrt x (\sqrt x  - 2)}}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\,\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}\]

Vậy P = \[ = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\]  với  \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)

1. Đường thằng \(\left( d \right):y = ax + b\) có hệ số góc là \(3\) nên \(a = 3\)

Khi đó: \(\left( d \right):y = 3x + b\) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) nên thay \(x =  - 1;y = 2\) ta được: \(2 = 3.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 5\)

Vậy \(a = 3;b = 5\)

2.    \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 6\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 4\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\1 - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x;y) = (1;3)\)

1. Theo bài ra ta có: \(a = 1;b =  - 3;c = 2\)

Ta lại có: \[a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\]  

nên phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 1\]và \[{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1;2} \right\}\]

2.

 \({x^2} - 2mx - {m^2} - 2 = 0\)

Vì \(\,a = 1 \ne 0\,\)và \(ac = {m^{^2}} - 2 < 0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi \(m\)

Mà \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} < 0 < {x_2}\) suy ra\(\left| {{x_1}} \right| =  - {x_1};\left| {{x_2}} \right| = {x_2}\)

Khi đó theo định lí vi- ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{x_1}.{x_2} =  - {m^2} - 2\,(3)\,\,\end{array} \right.\]

Thay vào đề ra ta có: \({x_2} - 2\left| {{x_1}} \right| - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4\)

\({x_2} + 2{x_1} - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4\)

\( \Rightarrow {x_2} + 2{x_1} = 3m - 2\)

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x_1} + 2{x_2} = 3m - 2\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Lấy (1) – (2) Suy ra \({x_1} = m - 2;{x_2} = m + 2\)

Thay vào (3) Ta đươc:  \({m^2} - 4 =  - {m^2} - 2\) \[ \Leftrightarrow m =  \pm 1\]

Vậy \(m =  \pm 1\)

Ta chứng minh bổ đề: \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge \frac{8}{{{{(m + n)}^2}}}\)

Áp dụng BĐT Cô si: \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{m^2}{n^2}}}}  = \frac{2}{{mn}}.\,\,\)

\(Do\,\,mn \le \frac{{{{(m + n)}^2}}}{4}\)   Nên suy ra \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge \frac{8}{{{{(m + n)}^2}}}\)

  Ta có:

 \[\begin{array}{l}4{{\rm{x}}^2} + 4 \ge 2\sqrt {4{{\rm{x}}^2}.4}  = 8{\rm{x}}\\4{y^2} + 4 \ge 8y\\4{z^2} + 4 \ge 8{\rm{z}}\end{array}\]

Cộng vế với vế ta được: \(24 \ge 8x + 8z + 2y \Leftrightarrow 3 \ge {\rm{x}} + {\rm{z}} + \frac{y}{4}\)

Ta lại có:

\(\frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{4} + 1} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {z + \frac{y}{4} + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} \ge \)

\( \ge 8.\frac{8}{{{{\left( {z + \frac{y}{4} + 2 + x + 3} \right)}^2}}} \ge 8.\frac{8}{{{{(3 + 2 + 3)}^2}}} = 1\)

\(\frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + 2023 \ge 1 + 2023 = 2024\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1;y = 4;z = 1\)