Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn .Từ điểm \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) đến \(\left( O \right)\) ( với\(A,B\) là hai tiếp điểm ). Gọi \(C\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\) , đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(D\) ( \(D\) khác \(C\))
1. Chứng minh rằng : \(MAOB\) nội tiếp
2. Gọi N là giao của hai đường thẳng \(AD\) và \(MO\) . chứng minh rằng\(M{N^2} = ND.NA\)
3. Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MO\) và \(AB\). Chứng minh rằng \({\left( {\frac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \frac{{AC}}{{HN}} = 1\)
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn .Từ điểm \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) đến \(\left( O \right)\) ( với\(A,B\) là hai tiếp điểm ). Gọi \(C\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\) , đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(D\) ( \(D\) khác \(C\))
1. Chứng minh rằng : \(MAOB\) nội tiếp
2. Gọi N là giao của hai đường thẳng \(AD\) và \(MO\) . chứng minh rằng\(M{N^2} = ND.NA\)
3. Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MO\) và \(AB\). Chứng minh rằng \({\left( {\frac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \frac{{AC}}{{HN}} = 1\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
1. Vì \(MA\) và \(MB\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\)
Nên \(\widehat {MAO} = {90^0}\) và \(\widehat {MBO} = {90^0}\)
Xét tứ giác\(MAOB\)có : \(\widehat {MAO} + \widehat {MBO} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\). Hai góc này đối nhau
Suy ra tứ giác \(MAOB\) nội tiếp
2. Nhận thấy \(MN//AC\) (vì cùng vuông góc với \(AH\))
Do đó \[\widehat {DMN} = \widehat {ACM}\] (so le trong)
Mà \(\widehat {MAD} = \widehat {ACM}\) (cùng chắn cung \(AD\))
Suy ra \(\widehat {DMN} = \widehat {MAD}\)
Xét \(\Delta MND\) và \(\Delta ANM\) có:
\(\widehat N\) là góc chung
\(\widehat {DMN} = \widehat {MAN} = \widehat {MAD}\)
Suy ra \(\Delta MND\) \( \sim \) \(\Delta ANM\)(g.g)
\( \Rightarrow \frac{{MN}}{{ND}} = \frac{{NA}}{{MN}}\) \( \Rightarrow M{N^2} = ND.NA\)
1. Dễ thấy \(M{A^2} = MD.MC\)
và \(M{A^2} = MH.MO\) (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông \(MAO\))
Do đó \(MD.MC = MH.MO\)
Suy ra tứ giác \(CDHO\) nội tiếp được đường tròn.
\( \Rightarrow \widehat {MCO} = \widehat {MHD}\)
\( \Rightarrow \Delta MDH\, \sim \Delta MOC\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {MHD} = \widehat {MCO}\)
Mà \(\widehat {MCO} = \widehat {DAH}\) (cùng chắn cung \(DB\))
nên \[\widehat {MHD} = \widehat {DAH}\]
Lại có \(\widehat {MHD} + \widehat {DHA} = {90^0}\) nên \(\widehat {DAH} + \widehat {DHA} = {90^0}\)
Suy ra \(DH \bot NA\)
Suy ra \(H{N^2} = ND.NA\)
Lại có \(M{N^2} = ND.NA\) nên \(H{N^2} = M{N^2} = > HN = MN\)
Ta có \(\frac{{H{A^2}}}{{H{D^2}}} = \frac{{AD.AN}}{{AD.DN}} = \frac{{AN}}{{DN}}\) và \(\frac{{AC}}{{HN}} = \frac{{AC}}{{HM}} = \frac{{AD}}{{DN}}\)
Suy ra \({\left( {\frac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \frac{{AC}}{{HN}} = \frac{{AN}}{{DN}} - \frac{{AD}}{{DN}} = \frac{{DN}}{{DN}} = 1\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Ta chứng minh bổ đề: \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge \frac{8}{{{{(m + n)}^2}}}\)
Áp dụng BĐT Cô si: \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{m^2}{n^2}}}} = \frac{2}{{mn}}.\,\,\)
\(Do\,\,mn \le \frac{{{{(m + n)}^2}}}{4}\) Nên suy ra \(\frac{1}{{{m^2}}} + \frac{1}{{{n^2}}} \ge \frac{8}{{{{(m + n)}^2}}}\)
Ta có:
\[\begin{array}{l}4{{\rm{x}}^2} + 4 \ge 2\sqrt {4{{\rm{x}}^2}.4} = 8{\rm{x}}\\4{y^2} + 4 \ge 8y\\4{z^2} + 4 \ge 8{\rm{z}}\end{array}\]
Cộng vế với vế ta được: \(24 \ge 8x + 8z + 2y \Leftrightarrow 3 \ge {\rm{x}} + {\rm{z}} + \frac{y}{4}\)
Ta lại có:
\(\frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{y}{4} + 1} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} \ge \frac{8}{{{{\left( {z + \frac{y}{4} + 2} \right)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} \ge \)
\( \ge 8.\frac{8}{{{{\left( {z + \frac{y}{4} + 2 + x + 3} \right)}^2}}} \ge 8.\frac{8}{{{{(3 + 2 + 3)}^2}}} = 1\)
\(\frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}} + 2023 \ge 1 + 2023 = 2024\)
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 1;y = 4;z = 1\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
1. Đường thằng \(\left( d \right):y = ax + b\) có hệ số góc là \(3\) nên \(a = 3\)
Khi đó: \(\left( d \right):y = 3x + b\) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) nên thay \(x = - 1;y = 2\) ta được: \(2 = 3.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 5\)
Vậy \(a = 3;b = 5\)
2. \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 6\\x - y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 4\\x - y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\1 - y = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x;y) = (1;3)\)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập