Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn .Từ điểm \(M\) kẻ hai tiếp tuyến \(MA\) và \(MB\) đến \(\left( O \right)\) ( với\(A,B\) là hai tiếp điểm  ). Gọi \(C\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\) , đường thẳng \(MC\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\)tại \(D\) ( \(D\) khác \(C\))

1. Chứng minh rằng : \(MAOB\) nội tiếp

2. Gọi N là giao của hai đường thẳng \(AD\) và \(MO\) . chứng minh rằng\(M{N^2} = ND.NA\)

3. Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(MO\) và \(AB\). Chứng minh rằng \({\left( {\frac{{HA}}{{HD}}} \right)^2} - \frac{{AC}}{{HN}} = 1\)

1. Theo bài ra ta có: \(a = 1;b =  - 3;c = 2\)

Ta lại có: \[a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\]  

nên phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 1\]và \[{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1;2} \right\}\]

2.

 \({x^2} - 2mx - {m^2} - 2 = 0\)

Vì \(\,a = 1 \ne 0\,\)và \(ac = {m^{^2}} - 2 < 0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi \(m\)

Mà \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} < 0 < {x_2}\) suy ra\(\left| {{x_1}} \right| =  - {x_1};\left| {{x_2}} \right| = {x_2}\)

Khi đó theo định lí vi- ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{x_1}.{x_2} =  - {m^2} - 2\,(3)\,\,\end{array} \right.\]

Thay vào đề ra ta có: \({x_2} - 2\left| {{x_1}} \right| - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4\)

\({x_2} + 2{x_1} - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4\)

\( \Rightarrow {x_2} + 2{x_1} = 3m - 2\)

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x_1} + 2{x_2} = 3m - 2\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Lấy (1) – (2) Suy ra \({x_1} = m - 2;{x_2} = m + 2\)

Thay vào (3) Ta đươc:  \({m^2} - 4 =  - {m^2} - 2\) \[ \Leftrightarrow m =  \pm 1\]

Vậy \(m =  \pm 1\)

1.\[\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{2 + 5\sqrt x }}{{x - 4}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 2) + (\sqrt x  + 1)(\sqrt x  + 2) - 2 - 5\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\\\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\frac{{x - 2\sqrt x  + x + 3\sqrt x  + 2 - 2 - 5\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{{2x - 4\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\frac{{2\sqrt x (\sqrt x  - 2)}}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}\,\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}\]

Vậy P = \[ = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\]  với  \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\)