Cho các số thực không âm \(x,y,z\) thỏa mãn: \[4{{\rm{x}}^2}\, + {y^2}\, + 4\,{z^2}\,\, \le \,6y\]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =\(\frac{1}{{{{(z + 1)}^2}}} + \frac{{16}}{{{{(y + 4)}^2}}} + \frac{8}{{{{(x + 3)}^2}}}\)+2023

1. Theo bài ra ta có: \(a = 1;b =  - 3;c = 2\)

Ta lại có: \[a + b + c = 1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\]  

nên phương trình có hai nghiệm: \[{x_1} = 1\]và \[{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{2}{1} = 2\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1;2} \right\}\]

2.

 \({x^2} - 2mx - {m^2} - 2 = 0\)

Vì \(\,a = 1 \ne 0\,\)và \(ac = {m^{^2}} - 2 < 0\)

Nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu với mọi \(m\)

Mà \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} < 0 < {x_2}\) suy ra\(\left| {{x_1}} \right| =  - {x_1};\left| {{x_2}} \right| = {x_2}\)

Khi đó theo định lí vi- ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{x_1}.{x_2} =  - {m^2} - 2\,(3)\,\,\end{array} \right.\]

Thay vào đề ra ta có: \({x_2} - 2\left| {{x_1}} \right| - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4\)

\({x_2} + 2{x_1} - 3{x_1}{x_2} = 3{m^2} + 3m + 4\)

\( \Rightarrow {x_2} + 2{x_1} = 3m - 2\)

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x_1} + 2{x_2} = 3m - 2\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Lấy (1) – (2) Suy ra \({x_1} = m - 2;{x_2} = m + 2\)

Thay vào (3) Ta đươc:  \({m^2} - 4 =  - {m^2} - 2\) \[ \Leftrightarrow m =  \pm 1\]

Vậy \(m =  \pm 1\)

1. Đường thằng \(\left( d \right):y = ax + b\) có hệ số góc là \(3\) nên \(a = 3\)

Khi đó: \(\left( d \right):y = 3x + b\) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) nên thay \(x =  - 1;y = 2\) ta được: \(2 = 3.\left( { - 1} \right) + b \Leftrightarrow b = 5\)

Vậy \(a = 3;b = 5\)

2.    \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y = 6\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x = 4\\x - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\1 - y =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \((x;y) = (1;3)\)