Cho parabol \(\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 4\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) bằng phép tính.

Cửa hàng A niêm yết giá một bông hồng là \(15000\) đồng. Nếu khách hàng mua nhiều hơn \(10\) bông thì từ bông thứ \(11\) trở đi, mỗi bông được giảm thêm \(10\% \) trên giá niêm yết. Nếu mua nhiều hơn \(20\) bông thì từ bông thứ \(21\) trở đi, mỗi bông được giảm thêm \(20\% \) trên giá đã giảm.

a) Nếu khách mua \(30\) bông hồng tại cửa hàng A thì phải trả bao nhiêu tiền?

b) Bạn Thảo đã mua một số bông hồng tại cửa hàng A với số tiền \(555.000\) đồng.

Hỏi bạn Thảo đã mua bao nhiêu bông hồng?

Bạn Nam dự định tổ chức buổi tiệc sinh nhật và chọn loại ly có phần chứa nước dạng hình nón với bán kính đáy \(R = 4cm\) và độ dài đường sinh \(l\) để khách uống nước trái cây.

a) Tính thể tích phần chứa nước của ly (ghi kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Biết công thức thể tích hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h\) (với \(R\) là bán kính đáy hình nón; \(h\) là chiều cao hình nón).

b) Bạn Nam cần chuẩn bị một số hộp nước trái cây có lượng nước trong mỗi hộp là \(1,2\) lít. Biết rằng buổi tiệc sinh nhật có \(14\) người (đã bao gồm Nam). Nếu mỗi người trung bình uống \(3\) ly nước trái cây và lượng nước rót bằng \(90\% \) thể tích ly thì bạn Nam cần chuẩn bị ít nhất bao nhiêu hộp nước trái cây?

Biết \(1\) lít \( = 1000c{m^3}\).

Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên các cạnh \(AB,AC\). Đường kính \(AD\) của \(\left( O \right)\) cắt \(EF\) tại \(K\) và \(DH\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(L\) (\(L\) khác \(D\)).

a) Chứng minh các tứ giác \(AEHF\) và \(ALHF\) nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác \(BEFC\) nội tiếp và \(AD\) vuông góc với \[EF\] tại \[K\].

c) Tia \[FE\] cắt \(\left( O \right)\) tại \(P\) và cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(AP = AH\) và ba điểm \(A,L,M\) thẳng hàng.

Nhà bạn Khanh có hai thùng đựng sữa, thùng thứ nhất có thể tích \(10\) lít, thùng thứ hai có thể tích \(8\) lít. Biết rằng cả hai thùng đều đang chứa một lượng sữa và tổng lượng sữa ở hai thùng lớn hơn \(10\) lít. Bạn Khanh muốn xác định lượng sữa ở mỗi thùng nhưng không có dụng cụ đo thể tích nên bạn đã nghĩ ra cách làm như sau:

- Đầu tiên, Khanh đổ sữa từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ nhất bằng \(\frac{1}{2}\) lượng sữa so với ban đầu.

- Sau đó, Khanh đổ sữa từ thùng thứ hai sang thùng thứ nhất cho đầy thì lượng sữa còn lại ở thùng thứ hai bằng \(\frac{1}{5}\) lượng sữa so với thời điểm ban đầu.

Hỏi thời điểm ban đầu mỗi thùng sữa chứa bao nhiêu lít sữa?

Chị Lan đun sôi nước bằng ấm điện. Biết rằng mối liên hệ giữa công suất hao phí \(P\left( {\rm{W}} \right)\)của ấm điện và thời gian đun \(t\) (giây) được mô hình hóa bởi một hàm số bậc nhất có dạng \(P = at + b\) và đồ thị như hình bên.

a) Hãy xác định các hệ số \(a\) và \(b\).

b) Nếu đun nước sôi với công suất hao phí là \(105\left( {\rm{W}} \right)\) thì thời gian đun là bao lâu?

Cho phương trình \(2{x^2} - 13x - 6 = 0\) có \(2\) nghiệm là \({x_1},\,\,{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1} + 2{x_2}} \right) - x_2^2\).