Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên các cạnh \(AB,AC\). Đường kính \(AD\) của \(\left( O \right)\) cắt \(EF\) tại \(K\) và \(DH\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(L\) (\(L\) khác \(D\)).
a) Chứng minh các tứ giác \(AEHF\) và \(ALHF\) nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác \(BEFC\) nội tiếp và \(AD\) vuông góc với \[EF\] tại \[K\].
c) Tia \[FE\] cắt \(\left( O \right)\) tại \(P\) và cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(AP = AH\) và ba điểm \(A,L,M\) thẳng hàng.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) có đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên các cạnh \(AB,AC\). Đường kính \(AD\) của \(\left( O \right)\) cắt \(EF\) tại \(K\) và \(DH\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(L\) (\(L\) khác \(D\)).
a) Chứng minh các tứ giác \(AEHF\) và \(ALHF\) nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác \(BEFC\) nội tiếp và \(AD\) vuông góc với \[EF\] tại \[K\].
c) Tia \[FE\] cắt \(\left( O \right)\) tại \(P\) và cắt \(BC\) tại \(M\). Chứng minh \(AP = AH\) và ba điểm \(A,L,M\) thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét tứ giác \(AEHF\) có \(\widehat {AEF} = \widehat {AFH} = {90^ \circ }\) nên tứ giác này nội tiếp được.
Xét tứ giác \(ALHF\) có \(\widehat {ALH} = \widehat {ALD} = {90^ \circ }\) do chắn đường kính \(AD\).
Và \(\widehat {ALH} = \widehat {AFH} = {90^ \circ }\) nên tứ giác này nội tiếp được.
b) Ta có \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) nên \(AE.AB = A{H^2}\)(hệ thức lượng)
Ta lại có \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) nên \(AF.AC = A{H^2}\)(hệ thức lượng)
\( \Rightarrow AE.AB = AF.AC\) hay \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\)
\( \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ACB\) (c.g.c)\( \Rightarrow \widehat {AEF} = \widehat {ACB}\)
Nên \(\widehat {ACB} + \widehat {FEB} = \widehat {AEF} + \widehat {FEB} = {180^ \circ }\). Mà 2 góc đối nhau nên tứ giác \(BCFE\) nội tiếp.
Xét \(\widehat {EAD} + \widehat {FEA} = \widehat {BAD} + \widehat {ACB} = \widehat {BAD} + \widehat {ADB} = {90^ \circ }\)\( \Rightarrow AD \bot EF\) tại \(K\).
c) \(\Delta APD\) vuông ở \(P\), có \(PK\) là đường cao \( \Rightarrow A{P^2} = AK.AD\).
Mà \(DKEB\) là tứ giác nội tiếp (do \(\widehat K + \widehat B = {90^ \circ }\)) \( \Rightarrow AK.AD = AE.AB\) (tính chất cát tuyến)
Mà \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) và có đường cao từ đỉnh vuông là \(AE\) suy ra \(AE.AB = A{H^2}\).
Từ trên suy ra \(A{P^2} = AK.AD = AE.AB = A{H^2}\)
Hay \(AP = AH\).
Giả sử \(MA\) cắt đường tròn tại \(L'\) khác \(A\). Khi đó \(ML'.MA = MB.MC\)
Ta có \(BCFE\) nội tiếp được nên \(MB.MC = ME.MF\)
Lại có \(ALEE\) nội tiếp được nên \(ME.MF = ML.MA\)
Từ trên suy ra \(ML'.MA = ML.MA\)\( \Rightarrow ML' = ML\) hay \(L' \equiv L\).
Vậy \(M,L,A\) thẳng hàng.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Nếu mua nhiều hơn 10 bông hồng thì từ bông thứ 11 trở đi, mỗi bông được giảm \[10\% \] trên giá niêm yết. Nên giá một bông hồng sau khi giảm từ bông hồng thứ 11 là:
\[15000\left( {100\% - 10\% } \right) = 13500\](đồng)
Nếu mua nhiều hơn 20 bông hồng thì từ bông thứ 21 trở đi, mỗi bông được giảm \[20\% \] trên giá đã giảm. Nên giá một bông hồng sau khi giảm từ bông hồng thứ 21 là:
\[13500\left( {100\% - 20\% } \right) = 10800\](đồng)
Khách hàng mua 30 bông hồng tại cửa hàng \[A\] thì phải trả bao nhiêu tiền là:
\[10.15000 + 10.13500 + 10.10800 = 393000\](đồng).
Vậy khách hàng phải trả cho cửa hàng \[A\] số tiền là \[393000\](đồng).
b) Ta thấy số tiền Thảo đã trả lớn hơn số tiền mua 30 bông hồng nên gọi số bông hồng từ bông thứ 21 trở đi là \[x\] (\[x \in {\mathbb{N}^*},\]bông).
Ta có: \[10.15000 + 10.13500 + x.10800 = 555000 \Leftrightarrow x.10800 = 270000 \Leftrightarrow x = 25\]
Vậy số bông hồng bạn Thảo đã mua là: \[20 + 25 = 45\](bông).
Lời giải
a) Xét hàm số: \[\left( d \right):y = x + 4\]
Ta có bảng giá trị:
|
\[x\] |
\[0\] |
\[ - 4\] |
|
\[\left( d \right):y = x + 4\] |
\[4\] |
\[0\] |
Xét hàm số: \[\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\]
Ta có bảng giá trị:
|
\[x\] |
\[ - 4\] |
\[ - 2\] |
\[0\] |
\[2\] |
\[4\] |
|
\[\left( P \right):y = \frac{{{x^2}}}{2}\] |
\[8\] |
\[2\] |
\[0\] |
\[2\] |
\[8\] |
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] ta có:
\[\frac{{{x^2}}}{2} = x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.\]
Với \[x = - 2 \Rightarrow y = 2\].
Với \[x = 4 \Rightarrow y = 8\]
Vậy tọa độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] là \[\left( { - 2;2} \right)\] và \[\left( {4;8} \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập