Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y = 0\) và đường thẳng \(d:x + 2y - 1 = 0\).

Lời giải

Để đặt vị trí sao cho nhận được tín hiệu sớm nhất khi \(M\) gần vị trí \(A\) nhất.

Mà \(M \in d\) suy ra \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Vì \(\Delta  \bot d\) nên \(\Delta :x + y + c = 0\).

Mà \(A\left( {4;4} \right) \in \Delta \) nên \(4 + 4 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 8\).

Suy ra \(\Delta :x + y - 8 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + y - 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Vậy máy thu đặt ở vị trí \(M\left( {\frac{{11}}{2};\frac{5}{2}} \right)\) sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất.

Khi đó \(S = a + b = \frac{{11}}{2} + \frac{5}{2} = 8\).

Trả lời: 8.

Lời giải

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và \(R = 5\).

Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - a; - 1 - b} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\).

Vì đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x + 4y + 1 = 0\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 1 - b} \right)^2} = 25\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\9{k^2} + 16{k^2} = 25\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\{k^2} = 1\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a = 3k\\ - 1 - b = 4k\\k =  \pm 1\end{array} \right.\].

Với \(k = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 5\end{array} \right.\); Với \(k =  - 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right.\).

Vì \(a < 0\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 5\end{array} \right.\). Suy ra \(\frac{a}{b} = 0,4\).

Trả lời: 0,4.