Phần 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = 25\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:3x + 4y + 1 = 0\) tại \(A\left( {1; - 1} \right)\). Tính \(\frac{a}{b}\) (biết \(a < 0\)).

Lời giải

Để đặt vị trí sao cho nhận được tín hiệu sớm nhất khi \(M\) gần vị trí \(A\) nhất.

Mà \(M \in d\) suy ra \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\).

Vì \(\Delta  \bot d\) nên \(\Delta :x + y + c = 0\).

Mà \(A\left( {4;4} \right) \in \Delta \) nên \(4 + 4 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 8\).

Suy ra \(\Delta :x + y - 8 = 0\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 = 0\\x + y - 8 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

Vậy máy thu đặt ở vị trí \(M\left( {\frac{{11}}{2};\frac{5}{2}} \right)\) sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất.

Khi đó \(S = a + b = \frac{{11}}{2} + \frac{5}{2} = 8\).

Trả lời: 8.

Lời giải

a) \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 4y = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 5\).

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right),R = \sqrt 5 \).

b) Thay tọa độ điểm \(M\left( {2;b} \right)\)vào phương trình đường tròn ta được

\({2^2} + {b^2} - 2 \cdot 2 + 4b = 0\)\( \Leftrightarrow b = 0\) hoặc \(b =  - 4\).

Vì \(b < 0\) nên \(M\left( {2; - 4} \right)\).

Có \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 2} \right)\).

Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1; - 2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\(\left( {x - 2} \right) - 2\left( {y + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - 10 = 0\;\left( {d'} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {IM} \) không cùng phương nên hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau.

c) Ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} < R\).

Nên \(d\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\).

d) Thay tọa độ điểm \(O\) vào phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) thỏa mãn nên điểm \(O\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\)

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Sai;    d) Đúng.