Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng \({d_1}:2x - 3y + 19 = 0\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 4 - 4mt\end{array} \right.\) vuông góc với nhau?

Đáp án đúng là: D

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Đường thẳng \({d_1}:2x + 2\sqrt 3 y + 5 = 0\) có một vectơ pháp tuyến  là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,2\sqrt 3 } \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:y - 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {0;\,\,1} \right)\).

Ta có: \(\cos \varphi  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \(\varphi= 30^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {4;\,\, - 6} \right)\).

Do đó, nó nhận \(\overrightarrow u  = \left( {6;\,\,4} \right)\) hoặc \(\overrightarrow {u'}  = \frac{1}{3}\overrightarrow u  = \frac{1}{2}\left( {6;\,\,4} \right) = \left( {3;\,\,2} \right)\) là vectơ chỉ phương.