Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn, 11 người họ Trần. Trong số những người họ Nguyễn có 8 cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), 9 người còn lại (gồm 4 nam và 5 nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Trong 11 người họ Trần, có 3 cặp là anh em ruột (anh trai và em gái), 5 người còn lại (gồm 2 nam và 3 nữ) không có quan hệ họ hàng với nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai người sao cho không có cặp anh em ruột nào?

Đáp án đúng là: C

Trước hết, xét mỗi cặp vợ chồng như là một khối.

Số cách xếp 3 khối vào 3 vị trí có 3! = 6 cách xếp.

Bây giờ, với mỗi cách xếp như vậy, mỗi cặp vợ chồng (của một khối) có thể đổi chỗ cho nhau để có một cách xếp mới. Số cách đổi chỗ mỗi cặp vợ chồng là: 2! = 2 cách.

Như vậy, tổng số cách xếp chỗ cho 6 người với yêu cầu của bài toán là:

6 . 2 . 2 . 2 = 48 (cách).

a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB\) và \(BC\) vuông góc với nhau tại \(B\).

Do đó, đường thẳng \(BC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Chọn điểm \(B\left( {1;\,\,2} \right)\) thuộc đường thẳng \(BC\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(x + y - 3 = 0\).

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(BC\): \(x + y - 3 = 0\).

b) Từ phương trình đường thẳng \(BC\) là \(x + y - 3 = 0\), ta có: \(y = 3 - x\).

Điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(BC\) nên tọa độ của nó có dạng: \(\left( {t;\,\,3 - t} \right)\).

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {t - 1;\,\,1 - t} \right)\)

\(BC = \sqrt {{{(t - 1)}^2} + {{(1 - t)}^2}} \)

\(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \)

Do \(ABCD\) là hình vuông nên ta có: \(BC = AB\)

\( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 1\end{array} \right.\)

Với \(t = 3\), ta có: \(C\left( {3;\,\,0} \right)\)

Với \(t =  - 1\), ta có: \(C\left( { - 1;\,4} \right)\)

Mà hoành độ của điểm \(C\) là số dương nên \(C\left( {3;\,\,0} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.