Gọi \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\). Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {1 - 3x} \right)^n}\).

Lời giải

Sắp xếp 4 học sinh lớp 10, 11 có \(4! = 24\) cách.

Khi đó có 5 chỗ trống đứng đan xen 4 học sinh lớp 10, 11.

Sắp xếp 4 học sinh lớp 12 vào 5 chỗ trống có \(A_5^4 = 120\) cách.

Vậy có \(24 \cdot 120 = 2880\) cách.

Trả lời: 2880.

Lời giải

a) Có \(A_4^3 = 24\) số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1; 2; 3; 4.

b) Gọi số cần lập là \[\overline {abc} \].

Vì số cần lập là số lẻ nên \(c \in \left\{ {1;3;5} \right\}\). Có 3 cách chọn \(c\).

Có 4 cách chọn \(a\). Có 4 cách chọn \(b\).

Do đó có \(4 \cdot 4 \cdot 3 = 48\) số lẻ có ba chữ số khác nhau.

c) Gọi số cần lập là \[\overline {abc} \].

Số cần lập chia hết cho 5 nên \(c \in \left\{ {0;5} \right\}\) nên có 2 cách chọn \(c\).

Có 8 cách chọn \(a\). Có 9 cách chọn \(b\).

Suy ra có \(8 \cdot 9 \cdot 2 = 144\) số có ba chữ số chia hết cho 5 lập được từ các số trên.

d) Gọi số cần lập là \(\overline {abcd} \).

Số cần lập là số chẵn nên \(d \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}\) nên có \(4\) cách chọn \(d\).

Có \(6\) cách chọn a.

Có 7 cách chọn \(b\).

Có 7 cạch chọn \(c\).

Suy ra có \(6 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 4 = 1176\) số chẵn có 4 chữ số được lập từ các số trên.

Đáp án: a) Đúng;    b) Sai;    c) Đúng;   d) Sai.