Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của một elip?

Đáp án đúng là: D 

Với \(x = 8\) ta có \(\frac{{{8^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 3\sqrt 3 \\y = 3\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Suy ra có hai điểm \(M\) thoả mãn là \({M_1}\left( {8;\,\,3\sqrt 3 } \right)\) và \[{M_2}\left( {8;\,\, - 3\sqrt 3 } \right)\].

Ta có \(a = 4;\,b = 3 \Rightarrow c = 5\). Tiêu điểm của \(\left( H \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;\,0} \right)\).

Khi đó:

\(\overrightarrow {{M_1}{F_1}}  = \left( { - 13;\, - 3\sqrt 3 } \right) & \)và \(\overrightarrow {{M_2}{F_1}}  = \left( { - 13;\,3\sqrt 3 } \right)\);

\(\overrightarrow {{M_1}{F_2}}  = \left( { - 3;\, - 3\sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{F_2}}  = \left( { - 3;\,3\sqrt 3 } \right)\).

Ta có \({M_1}{F_1} = {M_2}{F_1} = 14\) và \({M_1}{F_2} = {M_2}{F_2} = 6\) .

Vậy khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự bằng 6 và 14.

Gọi độ dài chiều rộng của mảnh đất nuôi gà hay khoảng cách cần phải cắm cọc tới bờ tường là \(x\) (m) (minh họa như hình vẽ). \(\left( {0 < x < 15} \right)\)

Độ dài của chiều dài mảnh đất nuôi gà là: \(30 - 2x\) (m)

Diện tích mảnh đất nuôi gà là: \(S\left( x \right) = x\left( {30 - 2x} \right) =  - 2{x^2} + 30x\) (m2).

Để mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn \(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) thì:

\(S\left( x \right) =  - 2{x^2} + 30x \ge 50 \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 30x - 50 \ge 0\) (*)

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) =  - 2{x^2} + 30x - 50\) có \(a =  - 2 < 0\)

\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 2} \right).\left( { - 50} \right) = 125\).

Do đó, \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 - 5\sqrt 5 }}{2} \approx 1,91\)

\({x_2} = \frac{{ - 15 + \sqrt {125} }}{{\left( { - 2} \right)}} = \frac{{15 + 5\sqrt 5 }}{2} \approx 13,09\)

Như vậy, bất phương trình (*) có tập nghiệm là đoạn \(\left[ {1,91;\,\,\,13,09} \right]\).

Vậy khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 1,91 m và nhỏ hơn hoặc bằng 13,09 m thì mảnh đất được rào chắn của bác có diện tích không nhỏ hơn\(50\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).