Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 5\) và \[x - y + z = 3\] . Tìm giá trị lớn nhất của \(P = \frac{{x + y - 2}}{{z + 2}}\).

Đáp án đúng là : D

Ta có: \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - \left( { - 1} \right)} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {5^2}\).

Đường tròn đã cho có tâm \(I\left( { - 1;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5\), do đó đáp án A và B đúng.

Ta có: \({\left( { - 1 + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 3} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} = 25 \Rightarrow A\left( { - 1; - 2} \right) \in \left( C \right)\), do đó đáp án C đúng.

\({\left( {4 + 1} \right)^2} + {\left( {3 - 3} \right)^2} = {5^2} = 25 \Rightarrow B\left( {4;3} \right) \in \left( C \right)\), do đó đáp án D sai.

Giả sử phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó \(a > b > 0\)).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên \(OA = 12:2 = 6\) (m) nên điểm \(A\) có tọa độ \(\left( {6;\,\,0} \right)\).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên \(OB = 3\) m, do đó điểm \(B\) có tọa độ \(\left( {0;\,\,3} \right)\).

Do các điểm \(B\left( {0;\,\,3} \right)\) và \(A\left( {6;\,\,0} \right)\) thuộc elip nên thay vào phương trình của elip ta được:

\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {3^2} = 9\)

\(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = {6^2} = 36\)

Suy ra phương trình của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe không quá \(3:2 = 1,5\) m, tương ứng với \(x = 1,5\). Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao \(y\) của điểm \(M\) (có hoành độ bằng 1,5 thuộc elip) so với trục \(Ox\). Ta có: \(\frac{{{x_M}^2}}{{36}} + \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1\).

Suy ra: \({y_M} = 3.\sqrt {1 - \frac{{x_M^2}}{{36}}}  = 3.\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}}  \approx 2,905 > 2,8\).

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.