Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là 12 m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao 2,8 m thì có chiều rộng không quá 3 m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao 2,8 m có thể đi qua hầm được không?

Từ điều kiện ta có

\({x^2} + {y^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} = 5 - {z^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 10 - 2{z^2} - {\left( {3 - z} \right)^2}\).

Do đó \({\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\).

Dễ thấy \(z \ne  - 2\). Ta có \(P.\left( {z + 2} \right) + 2 = x + y\).

Do đó \({\left[ {P.\left( {z + 2} \right) + 2} \right]^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2}{P^2} + 4\left( {z + 2} \right)P + 4 = 1 + 6z - 3{z^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 3} \right){z^2} + \left( {4{P^2} + 4P - 6} \right)z + 4{P^2} + 8P + 3 = 0\)

Phương trình ẩn \(z\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta '_z} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{P^2} + 2P - 3} \right)^2} - \left( {{P^2} + 3} \right)\left( {4{P^2} + 8P + 3} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 4{P^4} + 4{P^2} + 9 + 8{P^3} - 12{P^2} - 12P - \left( {4{P^4} + 8{P^3} + 3{P^2} + 12{P^2} + 24P + 9} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 23{P^2} + 36P \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{{36}}{{23}} \le P \le 0\) (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta có \(P = 0\) khi \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\]  và \(P =  - \frac{{36}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{20}}{{31}},\,\,y =  - \frac{{66}}{{31}},\,\,z = \frac{7}{{31}}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là 0 tại \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\].

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {57x + 31{x^2} + 2}  = 5x + 4\) ta được:

\(57x + 31{x^2} + 2 = 25{x^2} + 40x + 16\).

Thu gọn phương trình trên ta được: \(6{x^2} + 17x - 14 = 0\).

Từ đó suy ra \(x =  - \frac{7}{2}\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = \frac{2}{3}\) thỏa mãn.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}\). Mà \(\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}\). Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.