Phương trình \(\sqrt {57x + 31{x^2} + 2}  = 5x + 4\) có số nghiệm nguyên là

Từ điều kiện ta có

\({x^2} + {y^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} = 5 - {z^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 10 - 2{z^2} - {\left( {3 - z} \right)^2}\).

Do đó \({\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\).

Dễ thấy \(z \ne  - 2\). Ta có \(P.\left( {z + 2} \right) + 2 = x + y\).

Do đó \({\left[ {P.\left( {z + 2} \right) + 2} \right]^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2}{P^2} + 4\left( {z + 2} \right)P + 4 = 1 + 6z - 3{z^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 3} \right){z^2} + \left( {4{P^2} + 4P - 6} \right)z + 4{P^2} + 8P + 3 = 0\)

Phương trình ẩn \(z\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta '_z} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{P^2} + 2P - 3} \right)^2} - \left( {{P^2} + 3} \right)\left( {4{P^2} + 8P + 3} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 4{P^4} + 4{P^2} + 9 + 8{P^3} - 12{P^2} - 12P - \left( {4{P^4} + 8{P^3} + 3{P^2} + 12{P^2} + 24P + 9} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 23{P^2} + 36P \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{{36}}{{23}} \le P \le 0\) (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta có \(P = 0\) khi \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\]  và \(P =  - \frac{{36}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{20}}{{31}},\,\,y =  - \frac{{66}}{{31}},\,\,z = \frac{7}{{31}}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là 0 tại \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\].

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng \({d_1}:2x + 3y - 19 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;\,\,3} \right)\) và đường thẳng \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 22 + 2t\\y = 55 + 5t\end{array} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;\,\,5} \right)\) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5;\, - 2} \right)\).

Ta thấy \(\frac{2}{5} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) và \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 2.5 + 3.\left( { - 2} \right) = 4 \ne 0\).

Vậy \[{d_1}\] và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.