Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\). Trong các mệnh đề sau đây, phát biểu nào sai?

Từ điều kiện ta có

\({x^2} + {y^2} = \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2} = 5 - {z^2} \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 10 - 2{z^2} - {\left( {3 - z} \right)^2}\).

Do đó \({\left( {x + y} \right)^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\).

Dễ thấy \(z \ne  - 2\). Ta có \(P.\left( {z + 2} \right) + 2 = x + y\).

Do đó \({\left[ {P.\left( {z + 2} \right) + 2} \right]^2} = 1 + 6z - 3{z^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2}{P^2} + 4\left( {z + 2} \right)P + 4 = 1 + 6z - 3{z^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{P^2} + 3} \right){z^2} + \left( {4{P^2} + 4P - 6} \right)z + 4{P^2} + 8P + 3 = 0\)

Phương trình ẩn \(z\) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta '_z} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {2{P^2} + 2P - 3} \right)^2} - \left( {{P^2} + 3} \right)\left( {4{P^2} + 8P + 3} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 4{P^4} + 4{P^2} + 9 + 8{P^3} - 12{P^2} - 12P - \left( {4{P^4} + 8{P^3} + 3{P^2} + 12{P^2} + 24P + 9} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 23{P^2} + 36P \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{{36}}{{23}} \le P \le 0\) (áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta có \(P = 0\) khi \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\]  và \(P =  - \frac{{36}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{20}}{{31}},\,\,y =  - \frac{{66}}{{31}},\,\,z = \frac{7}{{31}}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là 0 tại \[x = 2,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}z = 1\].

Giả sử phương trình chính tắc của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (trong đó \(a > b > 0\)).

Vì chiều rộng của hầm là 12 m nên \(OA = 12:2 = 6\) (m) nên điểm \(A\) có tọa độ \(\left( {6;\,\,0} \right)\).

Khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là 3 m nên \(OB = 3\) m, do đó điểm \(B\) có tọa độ \(\left( {0;\,\,3} \right)\).

Do các điểm \(B\left( {0;\,\,3} \right)\) và \(A\left( {6;\,\,0} \right)\) thuộc elip nên thay vào phương trình của elip ta được:

\(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {b^2} = {3^2} = 9\)

\(\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = {6^2} = 36\)

Suy ra phương trình của elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Với những xe tải có chiều cao 2,8 m, chiều rộng của xe tải là 3 m, nếu xe chạy chính giữa hầm thì khoảng cách từ tâm xe tới mỗi bên xe không quá \(3:2 = 1,5\) m, tương ứng với \(x = 1,5\). Thay vào phương trình của elip để ta tìm ra độ cao \(y\) của điểm \(M\) (có hoành độ bằng 1,5 thuộc elip) so với trục \(Ox\). Ta có: \(\frac{{{x_M}^2}}{{36}} + \frac{{{y_M}^2}}{9} = 1\).

Suy ra: \({y_M} = 3.\sqrt {1 - \frac{{x_M^2}}{{36}}}  = 3.\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}}  \approx 2,905 > 2,8\).

Kết luận: Ô tô tải có thể đi được qua hầm, tuy nhiên cần khuyến cáo ô tô phải đi vào chính giữa hầm.