Vị trí của một chất điểm \(M\) tại thời điểm \(t\) (\(t\) trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là \(\left( {3 + 5\sin t^\circ ;\,4 + 5\cos t^\circ } \right)\). Tìm toạ độ của chất điểm \(M\) khi \(M\) ở cách xa gốc toạ độ nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Từ cách xác định toạ độ của chất điểm \(M\) ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 3 + 5\sin t^\circ }\\{{y_M} = 4 + 5\cos t^\circ }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} - 3 = 5\sin t^\circ }\\{{y_M} - 4 = 5\cos t^\circ }\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = {\left( {5\sin t^\circ } \right)^2} + {\left( {5\cos t^\circ } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25{\left( {\sin t^\circ } \right)^2} + 25{\left( {\cos t^\circ } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25\left( {{{\sin }^2}t^\circ + {{\cos }^2}t^\circ } \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = 25.1\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 4} \right)^2} = {5^2}\)
Vậy chất điểm \(M\) luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;\,\,4} \right)\) và có bán kính \(R = 5\). Mặt khác gốc toạ độ \(O\left( {0;\,0} \right)\) cũng thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
Do đó ta có: \(OM \le 2R = 10\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(OM\) là đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\), nghĩa là \(I\) là trung điểm của \(OM\), điều đó tương đương với
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_M} = 2{x_I} - {x_O} = 6}\\{{y_M} = 2{y_I} - {y_O} = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 5\sin t^\circ = 6}\\{4 + 5\cos t^\circ = 8}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin t^\circ = \frac{3}{5}}\\{\cos t^\circ = \frac{4}{5}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t \approx 37\) (thỏa mãn \(t \in \left( {0;\,\,180} \right)\)).
Vậy \(M\left( {6;\,\,8} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Trọng tâm Lí, Hóa, Sinh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST và CD VietJack - Sách 2025 ( 40.000₫ )
- Trọng tâm Toán, Văn, Anh 10 cho cả 3 bộ KNTT, CTST, CD VietJack - Sách 2025 ( 13.600₫ )
- Sách lớp 10 - Combo Trọng tâm Toán, Văn, Anh và Lí, Hóa, Sinh cho cả 3 bộ KNTT, CD, CTST VietJack ( 75.000₫ )
- Sách lớp 11 - Trọng tâm Toán, Lý, Hóa, Sử, Địa lớp 11 3 bộ sách KNTT, CTST, CD VietJack ( 52.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(m \le - 2\) hoặc \(m > 0\);
B. \(m < - 2\) hoặc \(m \ge 0\);
C. \( - 2 < m \le 0\);
D. \( - 2 < m < 0\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
+ Nếu \(m = 0\), tam thức đã cho trở thành \(f\left( x \right) = - 1 < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy giá trị \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Nếu \(m \ne 0\), tam thức đa cho là tam thức bậc hai. Do đó \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + 2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 2 < m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 < m < 0\).
Vậy tam thức \(f\left( x \right) = 2m{x^2} - 2mx - 1\) nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \( - 2 < m \le 0\).
Lời giải
* Nếu trong ba số \[x,y,z\] có một số bằng 0, chẳng hạn \(x = 0\)\( \Rightarrow {b^2}y = - {c^2}z\).
\( \Rightarrow xy + yz + zx = yz = - \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}}{z^2} \le 0\).
* Nếu \(x,y,z \ne 0\). Do \({a^2}x + {b^2}y + {c^2}z = 0\)\( \Rightarrow x = - \frac{{{b^2}y + {c^2}z}}{{{a^2}}}\)
\( \Rightarrow xy + yz + zx \le 0\) \( \Leftrightarrow - \left( {y + z} \right)\frac{{{b^2}y + {c^2}z}}{{{a^2}}} + yz \le 0\)
\( \Leftrightarrow {b^2}{y^2} + \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)yz + {c^2}{z^2} \ge 0\).
Xét tam thức bậc hai \(f\left( y \right) = {b^2}{y^2} + \left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)yz + {c^2}{z^2}\) (do \(b\) là độ dài cạnh tam giác nên \(b \ne 0\)) có \({\Delta _y} = \left[ {{{\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)}^2} - 4{b^2}{c^2}} \right]{z^2}\).
Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {b - c} \right| < a\\b + c > a\end{array} \right. \Rightarrow - 2bc < {b^2} + {c^2} - {a^2} < 2bc\).
Do đó, \({\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)^2} < 4{c^2}{b^2}\)\( \Rightarrow {\Delta _y} \le 0,{\rm{ }}\forall z \Rightarrow f\left( y \right) \ge 0{\rm{ }}\forall y,z\).
Câu 3
A. \(D\left( {2;\,\,1} \right)\);
B. \(D\left( { - 1;\,\,2} \right)\);
C. \(D\left( { - 2;\, - 9} \right)\);
D. \(D\left( {2;\,\,9} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\);
B. \({y^2} = 5x\);
C. \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = - 1\);
D. \(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\left( {7;\,\, - 7} \right)\);
B. \(\left( {9;\,\, - 11} \right)\);
C. \(\left( {9;\, - 5} \right)\);
D. \(\left( { - 1;\,\,5} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \[\left( {6;\,\, - 4} \right)\];
B. \(\left( {4;\,\,6} \right)\);
C. \(\left( { - 6;\,\,4} \right)\);
D. \(\left( {3;\,2} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập