Cho hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh \(AC = a\sqrt 2 \). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = 2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right)\).
Câu hỏi trong đề: Bài tập ôn tập Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hình vuông \(ABCD\) có độ dài cạnh \(AC = a\sqrt 2 \). Suy ra cạnh hình vuông bằng \(a\), \(AO = OC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AO} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AO} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AO} } \right)\)\( = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \cos 45^\circ \)\( = a \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\) (1).
Vì \(O,M\) là trung điểm của \(BD,BC\) nên \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).
Suy ra \(OM = \frac{{DC}}{2} = \frac{a}{2}\).
Ta có \(2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right) = 2\left[ {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} \right] = \frac{{{a^2}}}{2}\) (2).
Từ (1) và (2), suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {OC} = 2\left( {O{C^2} - O{M^2}} \right)\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = AD\) mà \(\widehat A = 60^\circ \) nên \(\Delta ABD\) đều cạnh 1.
Suy ra \(AO = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 0,9\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án:
Vì vật đứng yên nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_3}} = - \left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)\).
Ta có \({\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right)^2} = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} \cdot \overrightarrow {{F_2}} + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)\( = {\overrightarrow {{F_1}} ^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} } \right) + {\overrightarrow {{F_2}} ^2}\)
\( = {70^2} + 2 \cdot 70 \cdot 70 \cdot \cos 60^\circ + {70^2} = 14700\).
Suy ra \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = \sqrt {14700} = 70\sqrt 3 \).
Do đó \(a = 70;b = 3\). Vậy \(a + b = 73\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
a) \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = {a^2}\).
b) \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{3}\).
c) \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {OM} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
d) \(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = {a^2}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a) \(\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \).
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AM} \).
c) \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 9\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập