a) Bạn Nam dùng đồng hồ bấm giờ để đo thời gian một vật rơi tự do (đơn vị: giây) từ tầng năm của một tòa nhà xuống mặt đất trong 10 lần cho kết quả như sau:

0,899;   0,898;   0,895;   0,901;   0,898;   0,902;   0,910;   0,312;   0,905;   0,899.

Nam nghĩ rằng giá trị 0,312 ở lần đo thứ 8 không chính xác. Hãy kiểm tra nghi ngờ của Nam.

b) Tìm \(x\) thỏa mãn \(A_x^3 + 5A_x^2 \le 21x\).

Hướng dẫn giải

a) Nhận thấy giá trị 0,312 nhỏ hơn rất nhiều so với các giá trị khác trong mẫu số liệu đã cho, do đó để kiểm tra nghi ngờ của Nam, ta cần xác định xem 0,312 có phải giá trị bất thường của mẫu số liệu hay không.

Sắp xếp mẫu số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:

0,312;   0,895;   0,898;   0,898;   0,899;   0,899;   0,901;   0,902;  0,905;   0,910.

Vì mẫu số liệu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ năm và thứ sáu, do đó \({Q_2} = \frac{{0,899 + 0,899}}{2} = 0,899\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 0,213;   0,895;   0,898;   0,898;   0,899.

Do đó, \({Q_1} = 0,898\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 0,899;  0,901;   0,902;  0,905;   0,910.

Do đó, \({Q_3} = 0,902\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,902 - 0,898 = 0,004\).

Ta có: \({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 0,898 - 1,5 \cdot 0,004 = 0,892\).

Vì 0,312 < 0,892 nên 0,312 là giá trị bất thường của mẫu số liệu. Do đó, giá trị ở lần đó thứ 8 trong thí nghiệm trên không chính xác hay nghi ngờ của Nam là đúng.

b) Điều kiện \(x \in \mathbb{N},x \ge 3\)

Xét \(A_x^3 + 5A_x^2 \le 21x\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x!}}{{\left( {x - 3} \right)!}} + \frac{{5.x!}}{{\left( {x - 2} \right)!}} \le 21x\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) \le 21x\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + 5x - 5 \le 21\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 24 \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - 6 \le x \le 4\)

Mà \(x \in \mathbb{N},x \ge 3\) nên \(x \in \left\{ {3;4} \right\}\).

Vậy \(x = 3\) hoặc \(x = 4\).