Một chi đoàn có \(3\)  đoàn viên nữ và một số đoàn viên nam. Cần lập một đội thanh niên tình nguyện gồm \(4\) người. Biết xác suất để trong \(4\) người được chọn có \(3\) nữ bằng \(\frac{2}{5}\) lần xác suất \(4\) người được chọn toàn nam. Hỏi chi đoàn đó có bao nhiêu đoàn viên.

Hướng dẫn giải.

Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là \(n\left( {n \ge 7,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là \(n - 3\).

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện trong đó có \(3\) nữ là \(\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}}\).

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện có toàn nam là \(\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\).

Theo giả thiết, ta có \(\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}} = \frac{2}{5}.\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}} \Leftrightarrow C_{n - 3}^1 = \frac{2}{5}C_{n - 3}^4\).

\[ \Leftrightarrow \left( {n - 3} \right) = \frac{2}{5}\frac{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right)\left( {n - 7} \right)!}}{{4!\left( {n - 7} \right)!}} \Leftrightarrow \left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right) = 60\]

\( \Leftrightarrow {n^3} - 15{n^2} + 74n - 180 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 9} \right)\left( {{n^2} - 6n + 20} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 9 = 0\\{n^2} - 6n + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 9\) (do \({n^2} - 6n + 20 = 0\) vô nghiệm).

Vậy cho đoàn có \(9\) đoàn viên.