Bác Nam dự định xây dựng một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 10 m, trên khu vườn đó bác Nam muốn chia thành hai phần: phần đất trồng rau dạng hình vuông có cạnh bằng chiều rộng của khu vườn, phần còn lại bác Nam làm hồ nuôi cá. Biết chi phí thi công phần đất trồng rau và hồ nuôi cá lần lượt là 60000 đồng/m² và 135000 đồng/m². Hỏi chiều rộng khu vườn lớn nhất có thể là bao nhiêu mét để tổng chi phí thi công không quá 5400000 đồng/m².

Gọi chiều rộng của khu vườn là \(x\left( {\rm{m}} \right),\left( {0 < x < 10} \right)\).

Diện tích phần trồng rau là \({x^2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Chi phí thi công phần trồng rau là \(60{x^2}\) (nghìn đồng).

Diện tích phần làm hồ nuôi cá là \(x\left( {10 - x} \right)\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Chi phí thi công phần hồ nuôi cá là \(135x\left( {10 - x} \right)\) (nghìn đồng).

Vì tổng chi phí không vượt quá 5400000 đồng/m² nên ta có:

\(60{x^2} + 135x\left( {10 - x} \right) \le 5400\)\( \Leftrightarrow - 75{x^2} + 1350x - 5400 \le 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge 12\end{array} \right.\).

Vì \(0 < x < 10\) nên \(0 < x \le 6\).

Vậy chiều rộng khu vườn lớn nhất là 6 m.