(1,5 điểm)

Kết quả khảo sát \[300\] học sinh lớp \[9\] về thời gian tự học của mỗi bạn trong một tuần (đơn vị; giờ) được cho trong bảng tần số ghép nhóm sau đây:

Thời gian tự học (giờ)	\(\left[ {0;4} \right)\)	\(\left[ {4;8} \right)\)	\(\left[ {8;12} \right)\)	\(\left[ {12;16} \right)\)	\(\left[ {16;20} \right)\)
Số học sinh	\(17\)	\(72\)	\(94\)	\(75\)	\(42\)

                Xác định tần số và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {12;16} \right)\).

Gọi độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là \(x\) (km, \(x > 0\)).

                Thời gian ô tô đi từ Hà Nội về Hải Phòng là: \(\frac{x}{{60}}\) (giờ).

                Thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là: \(\frac{x}{{40}}\) (giờ).

                Vì thời gian ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng ít hơn thời gian ô tô đi từ Hải Phòng về Hà Nội là \(1\) giờ, nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{60}} + 1 = \frac{x}{{40}}\) hay \(\frac{{2x}}{{120}} + \frac{{120}}{{120}} = \frac{{3x}}{{120}}\)

                Suy ra: \(3x = 2x + 120\), suy ra \(x = 120\) (thỏa mãn điều kiện).

                Vậy độ dài quãng đường ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là \(120\) km.

1) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A\), ta được: \(A = \frac{{\sqrt 9  + 2}}{{\sqrt 9  - 2}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = 5\).

                Vậy với \(x = 9\) thì biểu thức \(A = 5\).                     

                2) Với \(x > 0;\,x \ne 4\), ta có:

                \(B = \frac{{x + \sqrt x  - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + \sqrt x  - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

                \(B = \frac{{x + \sqrt x  - 4 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\) (điều phải chứng minh).

                3) Với \(x > 0;\,x \ne 4\), ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

                Để \(\frac{A}{B} < \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} < \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{2} < 0\) hay \(\frac{{\sqrt x  + 2}}{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} < 0\)

                Mà \[\sqrt x  + 2 > 0\] với mọi \[x\], suy ra: \[2\left( {\sqrt x  - 2} \right) < 0\]

                                                                          \[\begin{array}{l}\sqrt x  < 2\\x < 4\end{array}\]

                Kết hợp điều kiện \(x > 0;\,x \ne 4\) suy ra \(0 < x < 4\), mà \(x\) là số nguyên lớn nhất, suy ra \(x = 3\).