Trong một buổi tập huấn cho các bí thư chi đoàn có 10 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn nam để tham gia trò chơi?

Sắp xếp 4 học sinh lớp 10, 11 có \(4! = 24\) cách.

Khi đó có 5 chỗ trống đứng đan xen 4 học sinh lớp 10, 11.

Sắp xếp 4 học sinh lớp 12 vào 5 chỗ trống có \(A_5^4 = 120\) cách.

Vậy có \(24 \cdot 120 = 2880\) cách.

Ta có \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\)\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2n\left( {n - 1} \right) = 48\)\( \Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} + 2n + 2{n^2} - 2n - 48 = 0\)

\( \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 48 = 0\)\( \Leftrightarrow n = 4\) (vì \(n\) nguyên dương).

Khi đó ta có khai triển \({\left( {1 - 3x} \right)^4} = {1^4} + 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 3x} \right) + 6 \cdot 1 \cdot {\left( { - 3x} \right)^2} + 4 \cdot 1 \cdot {\left( { - 3x} \right)^3} + {\left( { - 3x} \right)^4}\)

\( = 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}\).

Suy ra hệ số của \({x^3}\) là \( - 108\).