Gọi \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\). Tìm hệ số của \({x^3}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {1 - 3x} \right)^n}\).

Sắp xếp 4 học sinh lớp 10, 11 có \(4! = 24\) cách.

Khi đó có 5 chỗ trống đứng đan xen 4 học sinh lớp 10, 11.

Sắp xếp 4 học sinh lớp 12 vào 5 chỗ trống có \(A_5^4 = 120\) cách.

Vậy có \(24 \cdot 120 = 2880\) cách.

Ta có \({\left( {3x - 2} \right)^4} = C_4^0{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1 \cdot {\left( {3x} \right)^3} \cdot \left( { - 2} \right) + C_4^2 \cdot {\left( {3x} \right)^2} \cdot {\left( { - 2} \right)^2} + C_4^3 \cdot \left( {3x} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^3} + C_4^4 \cdot {\left( { - 2} \right)^4}\)

\( = 81{x^4} - 216{x^3} + 216{x^2} - 96x + 16\).

Vậy \({a_1} + {a_2} + {a_3} = \left( { - 96} \right) + 216 + \left( { - 216} \right) = - 96\).