(1,5 điểm)

                Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{{x + \sqrt x  - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\) với \(x > 0;\,x \ne 4\).

                1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).

                2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\).

                3) Tìm số nguyên dương \(x\) lớn nhất để \(\frac{A}{B} < \frac{1}{2}\).

1) Thay \(x = 9\) (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức \(A\), ta được: \(A = \frac{{\sqrt 9  + 2}}{{\sqrt 9  - 2}} = \frac{{3 + 2}}{{3 - 2}} = 5\).

                Vậy với \(x = 9\) thì biểu thức \(A = 5\).                     

                2) Với \(x > 0;\,x \ne 4\), ta có:

                \(B = \frac{{x + \sqrt x  - 4}}{{x - 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + \sqrt x  - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

                \(B = \frac{{x + \sqrt x  - 4 - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }}\) (điều phải chứng minh).

                3) Với \(x > 0;\,x \ne 4\), ta có: \(\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

                Để \(\frac{A}{B} < \frac{1}{2}\) thì \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} < \frac{1}{2}\) hay \(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{1}{2} < 0\) hay \(\frac{{\sqrt x  + 2}}{{2\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} < 0\)

                Mà \[\sqrt x  + 2 > 0\] với mọi \[x\], suy ra: \[2\left( {\sqrt x  - 2} \right) < 0\]

                                                                          \[\begin{array}{l}\sqrt x  < 2\\x < 4\end{array}\]

                Kết hợp điều kiện \(x > 0;\,x \ne 4\) suy ra \(0 < x < 4\), mà \(x\) là số nguyên lớn nhất, suy ra \(x = 3\).