(2,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Vẽ đường tròn \((I)\) đường kính \(AB\) và đường tròn\((K)\) đường kính \(AC\). Gọi \(D\) là giao điểm khác \(A\) của đường tròn \((D)\) và đường tròn \((K)\).

a) Chứng minh rằng \(D\) nằm trên cạnh huyền \(BC\) của tam giác \(ABC\).

b) Chứng minh rằng tứ giác \(AIDK\) nội tiếp được một đường tròn.

a) Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AD \bot \;BD\;\left( 1 \right)\)

Xét đường tròn \(\left( K \right)\) có: \(\widehat {ADC} = 90^\circ \;\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AD \bot \;CD\;\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(B,\;C,D\) thẳng hàng nên \(D\) là điểm thuộc cạnh huyền \(BC\).

b) Ta có \({\rm{\Delta }}\;IAK\) vuông tại \(A\)  (\({\rm{\Delta }}\;ABC\) vuông tại \(A\))

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IK.\)

Suy ra ba điểm \(I,A,K\) thuộc đường tròn đường kính \(IK\)   (3)

Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có: \(IA = ID\) (cùng bán kính)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAD\) cân tại I nên \(\widehat {IAD} = \widehat {IDA}\;\;\left( * \right)\)

Xét đường tròn \(\left( K \right)\) có: \(KA = KD\) (cùng bán kính)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAD\) cân tại I nên \(\widehat {KAD} = \widehat {KDA}\;\;\left( {**} \right)\)

Ta có \(\widehat {IAD} + \widehat {KAD} = \widehat {IAK\;} = 90^\circ \,\,\left( {***} \right)\)

Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat {IDK\;} = \widehat {IDA\;} + \widehat {KDA} = 90^\circ \)

Nên \({\rm{\Delta }}\;IDK\) vuông tại \(D\)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IDK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IK.\)

Suy ra ba điểm \(I,D,K\) thuộc đường tròn đường kính \(IK\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A,I,D,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tứ giác \(AIDK\) là tứ giác nội tiếp.