Trong hộp đựng 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ có khối lượng và kích thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên một viên bi. Xác suất để viên bi được chọn có màu xanh bằng

a) Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có \(\widehat {ADB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AD \bot \;BD\;\left( 1 \right)\)

Xét đường tròn \(\left( K \right)\) có: \(\widehat {ADC} = 90^\circ \;\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(AD \bot \;CD\;\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(B,\;C,D\) thẳng hàng nên \(D\) là điểm thuộc cạnh huyền \(BC\).

b) Ta có \({\rm{\Delta }}\;IAK\) vuông tại \(A\)  (\({\rm{\Delta }}\;ABC\) vuông tại \(A\))

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IK.\)

Suy ra ba điểm \(I,A,K\) thuộc đường tròn đường kính \(IK\)   (3)

Xét đường tròn \(\left( I \right)\) có: \(IA = ID\) (cùng bán kính)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAD\) cân tại I nên \(\widehat {IAD} = \widehat {IDA}\;\;\left( * \right)\)

Xét đường tròn \(\left( K \right)\) có: \(KA = KD\) (cùng bán kính)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IAD\) cân tại I nên \(\widehat {KAD} = \widehat {KDA}\;\;\left( {**} \right)\)

Ta có \(\widehat {IAD} + \widehat {KAD} = \widehat {IAK\;} = 90^\circ \,\,\left( {***} \right)\)

Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat {IDK\;} = \widehat {IDA\;} + \widehat {KDA} = 90^\circ \)

Nên \({\rm{\Delta }}\;IDK\) vuông tại \(D\)

Suy ra \({\rm{\Delta }}\;IDK\) nội tiếp đường tròn đường kính \(IK.\)

Suy ra ba điểm \(I,D,K\) thuộc đường tròn đường kính \(IK\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(A,I,D,K\) cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tứ giác \(AIDK\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(P = \frac{{\sqrt {x + 2\sqrt x  + 1} }}{{x - 1}}.\sqrt {x - 2\sqrt x  + 1} \)

\( = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}} }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left| {\sqrt x  + 1} \right|.\left| {\sqrt x  - 1} \right|}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)\( = 1\) (với \(x > 1\))