Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc như nhau. Đội công nhân thứ nhất, thứ hai và thứ ba hoàn thành công việc với thời gian lần lượt là 8 ngày, 10 ngày và 12 ngày. Hỏi mỗi đội công nhân có bao nhiêu người? Biết rằng năng suất lao động của mỗi người là như nhau và đội thứ ba kém đội thứ nhất 5 công nhân. Gọi số công nhân trong đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là \(x,y,z\) người \(\left( {x,\,\,y,\,\,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Khi đó:

a) Đúng.

Đặt \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \[x = 2k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

b) Sai.

Ta có: \[\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] thì \[x = 2k\,;\,\,y = 3k;\,\,z = 5k\].

Mà \[xyz = 810\] nên \[2k \cdot 3k \cdot 5k = 810\] hay \[30{k^3} = 810\].

Suy ra \[{k^3} = 27\] nên \[k = 3.\]

c) Sai.

Với \[k = 3\] thì \[x = 6;\,\,y = 9;\,\,z = 15\].

Do đó, \[6 < 9 < 15\] hay \[x < y < z\].

d) Đúng.

Có \[x + y + z = 6 + 9 + 15 = 30\].

a) Đúng.

Nửa chu vi của mảnh đất hình chữ nhật là: \[180:2 = 90\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

Do đó, \[a + b = 90\].

b) Đúng.

Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng và hai cạnh có tỉ lệ 7 và 8 nên ta có \[\frac{a}{8} = \frac{b}{7}\].

c) Đúng.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \[\frac{a}{8} = \frac{b}{7} = \frac{{a + b}}{{8 + 7}} = \frac{{90}}{{15}} = 6.\]

Suy ra \[a = 48;\,\,b = 30.\]

Vậy chiều dài của mảnh đất bằng 48 m.

d) Sai.

Diện tích của mảnh đất đó là: \[30 \cdot 48 = 1\,\,440\,\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\]