Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BD\) và \(CE\) \((D\) thuộc \(AC\); \(E\) thuộc \(AB\)) của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \(H\).

1. Chứng minh bốn điểm \[A,D,H,E\] cùng thuộc một đường tròn.

2. Tia \[BD\] cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(M\) (\(M\) khác \(B\)). Gọi \[K\] là trung điểm của \[BC\]. Chứng minh tam giác \[MHC\] cân và \[AH = 2OK\].

3. Đường thẳng \[AH\] cắt đường thẳng \[BC\] tại \[F\], đường thẳng \[DE\] cắt đường thẳng \[BC\] tại \[N\]. Chứng minh \[BN.CF = CN.BF\].

1. Ta có \[\widehat {AEH} = 90^\circ \] (giả thiết); \[\widehat {ADH} = 90^\circ \](giả thiết).

Do đó bốn điểm \(A,D,H,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH\] .

2. Ta có  \[\widehat {BAC} = \widehat {BMC}\] (cùng chắn cung \[BC\]).

Mà \[\widehat {BAC} = \widehat {MHC}\] (cùng bù với \[\widehat {EHD}\]).

Do đó \[\widehat {BMC} = \widehat {MHC}\]. Vậy tam giác \[MHC\] cân tại \[C\].

Kẻ đường kính \[AI\] của đường tròn (O). Xét tứ giác \[BHCI\] có

\[BH{\rm{//}}CI\](vì cùng vuông góc với \[AC\]).

\[CH{\rm{//}}BI\](vì cùng vuông góc với \[AB\]).

Do đó tứ giác \[BHCI\]là hình bình hành.

Mà \(K\)là trung điểm của \(BC\) nên \(K\)là trung điểm của \[HI\].

Tam giác \[AHI\] có \[OK\]là đường trung bình nên \[AH = 2OK.\]

3. Ta có \[\widehat {NEB} = \widehat {AED}\] (đối đỉnh);  \[\widehat {AED} = \widehat {AHD\,}\] (cùng chắn cung \[AD\]).

\[\widehat {AHD} = \widehat {BHF}\] (đối đỉnh).

\[\widehat {BHF} = \widehat {BEF}\] (cùng chắn cung \[BF\], tứ giác \[BEHF\] nội tiếp).

\[ \Rightarrow \widehat {NEB} = \widehat {BEF}\,\,\,\]

Suy ra \[EB\]là phân giác của tam giác \[NEF\] .

Vì \[EB\] vuông \[EC\]nên \[EC\] là phân giác ngoài của tam giác \[NEF\].

Suy ra \[\frac{{BN}}{{BF}} = \frac{{CN}}{{CF}} = \frac{{EN}}{{EF}}\]. Do đó \[BN.CF = CN.BF.\]