Cho hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị đi qua điểm \(A\left( {1;1} \right)\). Xác định hệ số \(a\).

Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được ghi số từ 1 đến 15, hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Xét phép thử “Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp”. Viết không gian mẫu của phép thử và tính xác suất của biến cố \(A\): “Rút được thẻ ghi số chia hết cho 5”.

Bác An mua một khúc gỗ hình trụ có đường kính đáy là 0,6 mét và chiều cao 2 mét. Biết rằng mỗi mét khối gỗ có giá 5 000 000 đồng. Tính thể tích của khúc gỗ và số  tiền bác An mua khúc gỗ đó (làm tròn kết quả đến hàng chục nghìn).

Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp trong đường tròn \(\left( O \right)\). Hai đường cao \(BD\) và \(CE\) \((D\) thuộc \(AC\); \(E\) thuộc \(AB\)) của tam giác \[ABC\] cắt nhau tại \(H\).

1. Chứng minh bốn điểm \[A,D,H,E\] cùng thuộc một đường tròn.

2. Tia \[BD\] cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(M\) (\(M\) khác \(B\)). Gọi \[K\] là trung điểm của \[BC\]. Chứng minh tam giác \[MHC\] cân và \[AH = 2OK\].

3. Đường thẳng \[AH\] cắt đường thẳng \[BC\] tại \[F\], đường thẳng \[DE\] cắt đường thẳng \[BC\] tại \[N\]. Chứng minh \[BN.CF = CN.BF\].

a)     Rút gọn biểu thức \(N\).

b)     Tìm tất cả giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = M.N\) nhận giá trị là số nguyên.