Cho hai biểu thức: \(M = \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) và \(N = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{4}{{x - 4}}\), với \(x \ge 0,x \ne 4\).

a)     Rút gọn biểu thức \(N\).

b)     Tìm tất cả giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = M.N\) nhận giá trị là số nguyên.

a. Rút gọn biểu thức N: \[N = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{ - 4}}{{x - 4}}\] . 

\[N = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{ - 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[N = \frac{{x - \sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\]

\[N = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\] ;  \[N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}}\].

b. Tìm giá trị nguyên x để \[P = M.N\]nguyên.
\[P = M.N = \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 1}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{2\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} = 2 + \frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 2}}\].

\[P \in \mathbb{Z}\] khi \[\frac{{ - 3}}{{\sqrt x  + 2}} \in \mathbb{Z}\] hay \[\sqrt x  + 2\] \[ \in \] Ư\[\left\{ 3 \right\} = \left\{ { \pm 1\,;\,\, \pm 3} \right\}\].

Vậy \[x = 1\].